Considere uma caixa isolada termicamente (um edifício, talvez) com temperatura interna . De acordo com a lei de resfriamento de Newton, satisfaz a equação diferencial
Onde é a temperatura ambiente (externa). Suponha que varia senoidalmente, por exemplo, suponha que
Resolva a equação diferencial e expresse em função de e . Observe que parte da sua solução tende a zero quando trona-se muito grande; essa é chamada de parte transiente. A parte restante da solução é chamada de estado estacionário. Denote-a por . coswt + wsenwt

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa isolada termicamente com uma temperatura interna que varia com o tempo. A temperatura externa varia de forma senoidal, ou seja, . A equação que descreve como a temperatura interna muda ao longo do tempo é dada pela lei de resfriamento de Newton:
Aqui, é uma constante positiva que caracteriza a taxa de resfriamento. Para resolver essa equação diferencial, vamos utilizar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisaremos entender como aplicar o fator integrante e encontrar tanto a solução geral quanto a solução particular dessa equação.

Passo 2

A equação diferencial dada é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser escrita na forma padrão:
Onde, neste caso:
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 3

O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação ao tempo :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos calcular as integrais do lado direito. Primeiro, a integral de :
Agora, a integral de . Para essa parte, usamos a integração por partes ou reconhecemos que a integral de é:
Portanto:

Passo 6

Substituindo as integrais calculadas de volta na equação, temos:
Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 7

A solução geral encontrada é composta por duas partes:
  1. Parte Transiente: — Esta parte tende a zero quando aumenta indefinidamente, pois diminui exponencialmente.
  2. Estado Estacionário: — Esta é a parte que permanece após o tempo suficientemente grande.
Conforme o enunciado, estamos interessados na parte do estado estacionário, que é representada por .

Resposta

A solução para a temperatura interna em função do tempo é:
Onde é uma constante determinada pelas condições iniciais. A parte transiente desaparece quando se torna muito grande, restando apenas o estado estacionário:

Exercícios relacionados

(a) Mostre que, se , então
Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.
-seny
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 2.6]
Encontre .
Dada a função
Responda:
(f) Existe ?