Considere uma caixa isolada termicamente (um edifício, talvez) com temperatura interna
. De acordo com a lei de resfriamento de Newton,
satisfaz a equação diferencial
Onde
é a temperatura ambiente (externa). Suponha que
varia senoidalmente, por exemplo, suponha que
Resolva a equação diferencial e expresse
em função de
e
. Observe que parte da sua solução tende a zero quando
trona-se muito grande; essa é chamada de parte transiente. A parte restante da solução é chamada de estado estacionário. Denote-a por
.
coswt + wsenwt
Resolva a equação diferencial e expresse
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa isolada termicamente com uma temperatura interna
que varia com o tempo. A temperatura externa
varia de forma senoidal, ou seja,
. A equação que descreve como a temperatura interna muda ao longo do tempo é dada pela lei de resfriamento de Newton:
Aqui,
é uma constante positiva que caracteriza a taxa de resfriamento. Para resolver essa equação diferencial, vamos utilizar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisaremos entender como aplicar o fator integrante e encontrar tanto a solução geral quanto a solução particular dessa equação.
Passo 2
A equação diferencial dada é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser escrita na forma padrão:
Onde, neste caso:
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 3
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos calcular as integrais do lado direito. Primeiro, a integral de
:
Agora, a integral de
. Para essa parte, usamos a integração por partes ou reconhecemos que a integral de
é:
Portanto:
Passo 6
Substituindo as integrais calculadas de volta na equação, temos:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
A solução geral encontrada é composta por duas partes:
-
Parte Transiente:
— Esta parte tende a zero quando aumenta indefinidamente, pois diminui exponencialmente. -
Estado Estacionário:
— Esta é a parte que permanece após o tempo suficientemente grande.
Conforme o enunciado, estamos interessados na parte do estado estacionário, que é representada por
.
Resposta
A solução para a temperatura interna
em função do tempo
é:
Onde
é uma constante determinada pelas condições iniciais. A parte transiente
desaparece quando
se torna muito grande, restando apenas o estado estacionário: