Mostre que para a estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (CCC) o comprimento da aresta da célula unitária
e o raio atômico
estão relacionados pela expressão
. A
, o ferro apresenta a estrutura CCC, sendo o raio atômico
. Calcule o parâmetro de rede
da célula unitária do ferro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (CCC) do ferro. Precisamos mostrar que a relação entre o comprimento da aresta da célula unitária, $ a $, e o raio atômico, $ R $, é dada por $ a = \frac{4R}{\sqrt{3}} $. Depois, usando essa relação e sabendo que o raio atômico do ferro é $ 0,124 , nm $, vamos calcular o parâmetro de rede $ a $ da célula unitária do ferro. Para isso, vamos precisar entender o que é uma célula unitária CCC e como as esferas atômicas se encaixam nela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura CCC. Na célula unitária cúbica de corpo centrado, temos átomos nos 8 cantos do cubo e um átomo no centro. Cada átomo de canto é compartilhado por 8 células unitárias, então na verdade, temos 1 átomo completo vindo dos cantos (8 cantos × 1/8) e 1 átomo inteiro no centro, totalizando 2 átomos por célula unitária.
Passo 3
Agora, vamos relacionar o raio atômico $ R $ com o comprimento da aresta $ a $. Imagine que os átomos nos cantos e o átomo no centro estão tocando uns aos outros. Se ligarmos o centro de um átomo de canto ao centro do átomo central, teremos uma diagonal que passa por dois raios de átomos de canto e um raio do átomo central.
Passo 4
A distância entre os centros de dois átomos adjacentes no corpo centrado é igual a $ 2R $, já que os átomos estão tocando. Essa distância também corresponde à distância da diagonal do cubo que passa pelo centro.
Passo 5
A diagonal do cubo pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras em três dimensões:
Mas sabemos que essa diagonal equivale a $ 4R $, porque atravessa dois raios dos átomos de canto e um raio do átomo central (totalizando $ 4R $).
Passo 6
Então, igualamos as duas expressões da diagonal:
Agora, resolvemos para $ a $:
Essa é a relação que queríamos demonstrar!
Passo 7
Agora que temos a relação entre $ a $ e $ R $, vamos calcular o parâmetro de rede $ a $ usando o raio atômico do ferro, que é $ R = 0,124 , nm $.
Substituindo na fórmula:
Passo 8
Vamos calcular o valor numérico:
Resposta
O parâmetro de rede $ a $ da célula unitária do ferro é aproximadamente $ 0,286 , nm $.