Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função f(z) = z / ((z - 1)(z - 3)(z - 5)) em torno de z0 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os quatro primeiros termos da expansão de Laurent da função em torno de . Isso faz parte do estudo de séries de Laurent, que são usadas para representar funções complexas perto de pontos singulares. Para isso, vamos precisar entender como decompor a função e expandir em série.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em termos de , que é o nosso ponto de expansão . Isso facilita trabalhar com a série ao redor desse ponto. Então, substituímos :

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão. Vamos dividir o numerador pelo denominador:
Mas isso pode ficar complicado, então vamos usar frações parciais para decompor . Vamos escrever:

Passo 4

Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados por e resolvemos para específicos:
Escolhemos valores de que facilitam a solução:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos expandir cada termo em série de Laurent em torno de . Para isso, vamos reescrever cada denominador em termos de :
  • Para , já está em termos de .
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Substituindo essas expansões de volta na expressão de :
Simplificando:

Passo 7

Vamos agora escrever os primeiros quatro termos de cada série:
  • Para :
  • Para :
Expandindo:

Resposta

Os primeiros quatro termos da expansão de Laurent de em torno de são:

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