Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os quatro primeiros termos da expansão de Laurent da função
em torno de
. Isso faz parte do estudo de séries de Laurent, que são usadas para representar funções complexas perto de pontos singulares. Para isso, vamos precisar entender como decompor a função e expandir em série.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função em termos de
, que é o nosso ponto de expansão
. Isso facilita trabalhar com a série ao redor desse ponto. Então, substituímos
:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão. Vamos dividir o numerador pelo denominador:
Mas isso pode ficar complicado, então vamos usar frações parciais para decompor
. Vamos escrever:
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, multiplicamos ambos os lados por
e resolvemos para
específicos:
Escolhemos valores de
que facilitam a solução:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos expandir cada termo em série de Laurent em torno de
. Para isso, vamos reescrever cada denominador em termos de
:
-
Para
, já está em termos de . -
Para
:
- Para
:
Passo 6
Substituindo essas expansões de volta na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Vamos agora escrever os primeiros quatro termos de cada série:
- Para
:
- Para
:
Expandindo:
Resposta
Os primeiros quatro termos da expansão de Laurent de
em torno de
são:
Exercícios relacionados
Seja
, com
. Calcule a parte principal de
.
Resposta:1/z.
Determine o raio de convergência
da série:
.
Mostre que se uma série de potência
converge para
, onde
é positivo, então ela também convergirá no intervalo
.
Mostre que a expansão de Laurent de
em torno de
é da forma
onde
são números reais. Cada
é chamado número de Bernoulli. Calcule os primeiros três números de Bernoulli.