Mostre que a expressão,
T=V1 C^* Cv1 A^* A=[1+(e^k11 a-e^-k11 a)^216 EV0(1-EV0)]^-1
para o coeficiente de transmissão na penetração de uma barreira de potencial retangular, se reduz à forma abaixo se os expoentes forem muito grandes.
T simeq 16 EV0(1-EV0) e^-2 k11 a k11 a gg 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma expressão para o coeficiente de transmissão $ T $ na penetração de uma barreira de potencial retangular. Nosso objetivo é mostrar que, quando o produto $ k_{11} a $ é muito grande, essa expressão se simplifica para uma forma mais fácil de trabalhar. Vamos precisar usar conceitos de exponenciais e simplificações matemáticas para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão original do coeficiente de transmissão:
T = [1 + (e^k11 a - e^-k11 a)^216 EV0 (1 - EV0)]^-1
Aqui, temos uma fração complicada dentro dos colchetes. Nosso objetivo é simplificar essa fração quando $ k_{11} a $ é muito grande.

Passo 3

Quando $ k_{11} a $ é grande, os termos exponenciais $ e^{k_{11} a} $ e $ e^{-k_{11} a} $ se comportam de maneira diferente. Especificamente:
  • $ e^{k_{11} a} $ fica muito grande.
  • $ e^{-k_{11} a} $ fica muito pequeno, praticamente zero.
Então, podemos aproximar:
k11 a

Passo 4

Agora, vamos substituir essa aproximação na expressão original:
(e^k11 a - e^-k11 a)^2 approx (e^k11 a)^2 = e^2 k11 a
Substituindo de volta na expressão de $ T $:
T

Passo 5

Quando $ k_{11} a $ é muito grande, $ e^{2 k_{11} a} $ também é muito grande, então o termo 1 dentro dos colchetes se torna negligenciável em comparação:
k11 a
Podemos reescrever isso usando a propriedade de exponenciais:
e^2 k11 a

Resposta

Então, mostramos que quando $ k_{11} a \gg 1 $, o coeficiente de transmissão $ T $ se aproxima de:
k11 a gg 1

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