Calcule o coeficiente de transmissão para um elétron de energia total 2 eV incidente sobre uma barreira de potencial retangular de altura 4 eV e largura
, usando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o coeficiente de transmissão $ T $ para um elétron com energia total de 2 eV que está chegando numa barreira de potencial retangular de altura 4 eV e largura $ a = 10^{-10} $ metros. Para isso, vamos usar a fórmula fornecida:
Vamos precisar entender o que cada símbolo representa e como calcular $ k_{11} $. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
- Energia do elétron: $ E = 2 , eV $
- Altura da barreira: $ V_0 = 4 , eV $
- Largura da barreira: $ a = 10^{-10} , m $
Como $ E < V_0 $, nosso elétron não tem energia suficiente para superar a barreira clássicamente, mas na mecânica quântica, há uma chance dele “tunelar” através dessa barreira. Esse fenômeno é descrito pelo coeficiente de transmissão $ T $.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é $ k_{11} $. Ele é uma constante que depende da diferença entre $ V_0 $ e $ E $. A fórmula para $ k_{11} $ é:
Onde:
- $ m $ é a massa do elétron ($ m = 9.11 \times 10^{-31} , kg $)
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar = 1.0545718 \times 10^{-34} , J·s $)
Vamos calcular $ V_0 - E $:
Precisamos converter essa energia para joules (J), sabendo que $ 1 , eV = 1.602 \times 10^{-19} , J $:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ k_{11} $:
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, o denominador:
Dividindo os dois:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Passo 5
Com $ k_{11} $ calculado, vamos agora encontrar $ k_{11} a $:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ \sinh^2(k_{11} a) $. Sabemos que:
Então,
Calculando $ e^{0.725} $ e $ e^{-0.725} $:
Então,
E:
Passo 7
Vamos agora calcular $ \frac{E}{V_0} $ e $ 1 - \frac{E}{V_0} $:
Multiplicando os dois:
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores na fórmula do $ T $:
Calculando o inverso:
Resposta
O coeficiente de transmissão $ T $ para o elétron é aproximadamente 0,616, ou seja, 61,6% de chance de atravessar a barreira de potencial.