Calcule o coeficiente de transmissão para um elétron de energia total 2 eV incidente sobre uma barreira de potencial retangular de altura 4 eV e largura 10^-10 m, usando
T=v1 C^* Cv1 A^* A=[1+(e^k11 a-e^-k11 a)^216 EV0(1-EV0)]^-1=[1+senh^2 k11 a4 EV0(1-EV0)]^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o coeficiente de transmissão $ T $ para um elétron com energia total de 2 eV que está chegando numa barreira de potencial retangular de altura 4 eV e largura $ a = 10^{-10} $ metros. Para isso, vamos usar a fórmula fornecida:
T
Vamos precisar entender o que cada símbolo representa e como calcular $ k_{11} $. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
  • Energia do elétron: $ E = 2 , eV $
  • Altura da barreira: $ V_0 = 4 , eV $
  • Largura da barreira: $ a = 10^{-10} , m $
Como $ E < V_0 $, nosso elétron não tem energia suficiente para superar a barreira clássicamente, mas na mecânica quântica, há uma chance dele “tunelar” através dessa barreira. Esse fenômeno é descrito pelo coeficiente de transmissão $ T $.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é $ k_{11} $. Ele é uma constante que depende da diferença entre $ V_0 $ e $ E $. A fórmula para $ k_{11} $ é:
k11
Onde:
  • $ m $ é a massa do elétron ($ m = 9.11 \times 10^{-31} , kg $)
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar = 1.0545718 \times 10^{-34} , J·s $)
Vamos calcular $ V_0 - E $:
V0
Precisamos converter essa energia para joules (J), sabendo que $ 1 , eV = 1.602 \times 10^{-19} , J $:
E

Passo 4

Agora, vamos calcular $ k_{11} $:
k11
Primeiro, calculamos o numerador:
k11 = raiz2 times 9.11 times 10^-31 , kg times 3.204 times 10^-19 , J(1.0545718 times 10^-34 , J·s)^2
Agora, o denominador:
2 times 9.11 times 10^-31 times 3.204 times 10^-19 = 5.834 times 10^-49
Dividindo os dois:
(1.0545718 times 10^-34)^2 = 1.112 times 10^-68
Agora, tiramos a raiz quadrada:
5.834 times 10^-491.112 times 10^-68 = 5.245 times 10^19

Passo 5

Com $ k_{11} $ calculado, vamos agora encontrar $ k_{11} a $:
k11

Passo 6

Agora, vamos calcular $ \sinh^2(k_{11} a) $. Sabemos que:
sinh^2(k11 a)
Então,
sinh(x) = e^x - e^-x2
Calculando $ e^{0.725} $ e $ e^{-0.725} $:
sinh^2(0.725) = (e^0.725 - e^-0.7252)^2
Então,
e^0.725
E:
e^-0.725

Passo 7

Vamos agora calcular $ \frac{E}{V_0} $ e $ 1 - \frac{E}{V_0} $:
EV0
Multiplicando os dois:
1 - EV0

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do $ T $:
T
Calculando o inverso:
T = [1 + 0.6221]^-1 = [1 + 0.622]^-1 = [1.622]^-1

Resposta

O coeficiente de transmissão $ T $ para o elétron é aproximadamente 0,616, ou seja, 61,6% de chance de atravessar a barreira de potencial.

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