Verifique por substituição que as soluções gerais exponenciais,
lll psi(x)=C e^k11 x+D e^-kappa11 x & onde kI I=raiz2 m(V0-E)h & x<-a / 2 psi(x)=F e^k11 x+G e^-k11 x & onde kI I=raiz2 m(V0-E)hbar & x>+a / 2
Satisfazem à equação de Schrödinger independente do tempo
-hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2+V0 psi(x)=E psi(x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que verificar, por substituição, se umas funções exponenciais dadas realmente resolvem a equação de Schrödinger independente do tempo. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, como a equação de Schrödinger e funções de onda. Vamos precisar usar derivadas e entender como substituir as soluções na equação para ver se dá certo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger independente do tempo que a gente tem:
-hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2 + V0 psi(x) = E psi(x)
Aqui, psi(x) é a função de onda, V0 é o potencial, E é a energia, hbar é a constante de Planck reduzida, e m é a massa da partícula.

Passo 3

Vamos considerar a primeira solução geral exponencial dada para x < -a/2:
psi(x) = C e^k11 x + D e^-kappa11 x
onde
k11 = raiz2 m (V0 - E)hbar
Nossa missão é substituir psi(x) e suas derivadas na equação de Schrödinger e ver se iguala-se do lado direito.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular as derivadas de psi(x). A primeira derivada é:
d psi(x)d x = C k11 e^k11 x - D kappa11 e^-kappa11 x
E a segunda derivada é:
d^2 psi(x)d x^2 = C k11^2 e^k11 x + D kappa11^2 e^-kappa11 x

Passo 5

Agora, vamos substituir psi(x) e d^2 psi(x)d x^2 na equação de Schrödinger:
-hbar^22 m (C k11^2 e^k11 x + D kappa11^2 e^-kappa11 x) + V0 (C e^k11 x + D e^-kappa11 x) = E (C e^k11 x + D e^-kappa11 x)

Passo 6

Vamos distribuir os termos:
- C hbar^2 k11^22 m e^k11 x - D hbar^2 kappa11^22 m e^-kappa11 x + V0 C e^k11 x + V0 D e^-kappa11 x = E C e^k11 x + E D e^-kappa11 x

Passo 7

Vamos agrupar os termos com e^k11 x e e^-kappa11 x:
Para e^k11 x:
- hbar^2 k11^22 m C + V0 C = E C
Para e^-kappa11 x:
- hbar^2 kappa11^22 m D + V0 D = E D

Passo 8

Podemos dividir cada equação por C e D respectivamente (assumindo que C e D não são zero):
Para e^k11 x:
- hbar^2 k11^22 m + V0 = E
Para e^-kappa11 x:
- hbar^2 kappa11^22 m + V0 = E

Passo 9

Agora, vamos substituir k11 e kappa11 pelas expressões dadas:
k11 = raiz2 m (V0 - E)hbar
Substituindo na primeira equação:
- hbar^22 m ( 2 m (V0 - E)hbar^2 ) + V0 = E
Simplificando:
- (V0 - E) + V0 = E
- V0 + E + V0 = E
E = E
O mesmo ocorre para kappa11, já que é definida de forma similar. Portanto, as equações são satisfeitas.

Resposta

As funções exponenciais apresentadas psi(x) satisfazem à equação de Schrödinger independente do tempo para x < -a/2 e x > +a/2, conforme demonstrado por substituição.

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