Verifique por substituição que as soluções gerais exponenciais,
Satisfazem à equação de Schrödinger independente do tempo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que verificar, por substituição, se umas funções exponenciais dadas realmente resolvem a equação de Schrödinger independente do tempo. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, como a equação de Schrödinger e funções de onda. Vamos precisar usar derivadas e entender como substituir as soluções na equação para ver se dá certo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger independente do tempo que a gente tem:
Aqui,
é a função de onda,
é o potencial,
é a energia,
é a constante de Planck reduzida, e
é a massa da partícula.
Passo 3
Vamos considerar a primeira solução geral exponencial dada para
:
onde
Nossa missão é substituir
e suas derivadas na equação de Schrödinger e ver se iguala-se do lado direito.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na equação de Schrödinger:
Passo 6
Vamos distribuir os termos:
Passo 7
Vamos agrupar os termos com
e
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Podemos dividir cada equação por
e
respectivamente (assumindo que
e
não são zero):
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, vamos substituir
e
pelas expressões dadas:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
O mesmo ocorre para
, já que é definida de forma similar. Portanto, as equações são satisfeitas.
Resposta
As funções exponenciais apresentadas
satisfazem à equação de Schrödinger independente do tempo para
e
, conforme demonstrado por substituição.