Mostre que
é contínua em
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é mostrar que a função
é contínua em todo o intervalo dos números reais. A função é definida de forma diferente dependendo de
ser menor que 1 ou maior ou igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e entender como elas se comportam em cada pedaço do domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função onde
. Nesse caso,
. Sabemos que funções polinomiais, como
, são contínuas em todo o seu domínio. Isso significa que, para qualquer valor de
menor que 1, não tem “saltos” ou “buracos” na função. Assim, essa parte da função é contínua.
Passo 3
Agora, vamos para a parte onde
. Aqui,
. A raiz quadrada é uma função contínua para todos os
que são maiores ou iguais a 0. Como estamos trabalhando com
, isso se encaixa perfeitamente. Portanto, essa parte da função também é contínua.
Passo 4
O próximo passo é verificar o que acontece exatamente em
, onde a definição da função muda. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais a
.
Vamos calcular:
- O limite pela esquerda (
): - O limite pela direita (
): - E
.
Como todos esses valores são iguais, a função não tem “quebra” em
e, portanto, é contínua nesse ponto.
Resposta
Concluímos que a função
é contínua em todo o intervalo
.
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Calcular os limites no infinito:
<html><head></head><body><div>Determine onde <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.244ex” height=“2.059ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -705 550 910”><title>f</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> é contínua: <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.236ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“12.16ex” height=“2.933ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 5374.9 1296.4”><title>f(x) = x / (|x| - 3)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 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