Mostre que
é contínua em
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é mostrar que a função
é contínua em todo o intervalo dos números reais. A função é definida de forma diferente dependendo de
ser menor que 1 ou maior ou igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e entender como elas se comportam em cada pedaço do domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função onde
. Nesse caso,
. Sabemos que funções polinomiais, como
, são contínuas em todo o seu domínio. Isso significa que, para qualquer valor de
menor que 1, não tem “saltos” ou “buracos” na função. Assim, essa parte da função é contínua.
Passo 3
Agora, vamos para a parte onde
. Aqui,
. A raiz quadrada é uma função contínua para todos os
que são maiores ou iguais a 0. Como estamos trabalhando com
, isso se encaixa perfeitamente. Portanto, essa parte da função também é contínua.
Passo 4
O próximo passo é verificar o que acontece exatamente em
, onde a definição da função muda. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais a
.
Vamos calcular:
- O limite pela esquerda (
): - O limite pela direita (
): - E
.
Como todos esses valores são iguais, a função não tem “quebra” em
e, portanto, é contínua nesse ponto.
Resposta
Concluímos que a função
é contínua em todo o intervalo
.