Mostre que f é contínua em (-infinito, infinito): f(x) = { x^2 se x < 1; raiz(x) se x ≥ 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é mostrar que a função é contínua em todo o intervalo dos números reais. A função é definida de forma diferente dependendo de ser menor que 1 ou maior ou igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e entender como elas se comportam em cada pedaço do domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função onde . Nesse caso, . Sabemos que funções polinomiais, como , são contínuas em todo o seu domínio. Isso significa que, para qualquer valor de menor que 1, não tem “saltos” ou “buracos” na função. Assim, essa parte da função é contínua.

Passo 3

Agora, vamos para a parte onde . Aqui, . A raiz quadrada é uma função contínua para todos os que são maiores ou iguais a 0. Como estamos trabalhando com , isso se encaixa perfeitamente. Portanto, essa parte da função também é contínua.

Passo 4

O próximo passo é verificar o que acontece exatamente em , onde a definição da função muda. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais a .
Vamos calcular:
  • O limite pela esquerda ( ):
  • O limite pela direita ( ):
  • E .
Como todos esses valores são iguais, a função não tem “quebra” em e, portanto, é contínua nesse ponto.

Resposta

Concluímos que a função é contínua em todo o intervalo .

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