Determine onde f é contínua: f(x) = x / (|x| - 3)

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos descobrir onde a função é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade em funções racionais e analisar o comportamento da função valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, observamos que é uma função racional, ou seja, é o quociente de duas funções polinomiais. A continuidade de uma função racional depende da continuidade do numerador e do denominador, além de o denominador não ser zero.

Passo 3

Analisando o numerador , vemos que é uma função polinomial simples. Funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio, que é todos os números reais ( ).

Passo 4

Agora, vamos olhar para o denominador . A função valor absoluto é contínua em todo , pois não apresenta quebras ou saltos no seu gráfico. Portanto, também é contínua em todo .

Passo 5

Para que a função seja contínua, o denominador não pode ser igual a zero, pois não podemos dividir por zero. Então, precisamos encontrar os valores de que fazem .

Passo 6

Resolvendo a equação :
Isso significa que ou .

Passo 7

Portanto, a função não está definida quando ou , pois nessas posições o denominador se torna zero, tornando a função descontínua.

Resposta

A função é contínua em todos os números reais, exceto em e .

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