Calcule a integral
nos seguintes casos: é a região delimitada pela elipse .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve um campo vetorial e uma elipse. O enunciado nos dá o campo vetorial e uma superfície delimitada pela elipse . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de divergência de um campo vetorial e aplicar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral . Isso representa o fluxo do campo através da superfície . Para facilitar, podemos usar o Teorema de Gauss, que nos permite transformar essa integral de superfície em uma integral dupla sobre a região delimitada por .

Passo 3

O Teorema de Gauss diz que:
Aqui, é a divergência do campo , e é a região delimitada pela superfície . Então, nosso próximo passo é calcular a divergência de .

Passo 4

A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, e . Vamos calcular cada derivada:
Então,

Passo 5

Agora que temos a divergência, podemos substituir na integral dupla:
Para facilitar a integração, é conveniente mudar para coordenadas que se adequem à elipse. Nossa elipse é . Vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 100:
Essa é a forma padrão da elipse, onde e , então e . Podemos usar uma mudança de variável para coordenadas elípticas:
Com isso, a área se transforma em:
Onde é o determinante da matriz jacobiana da transformação, que para essa mudança de variável é:

Passo 6

Agora, vamos expressar a integral em termos de e :
Onde é a região unitarizada, ou seja, a elipse transformada fica como um círculo unitário .

Passo 7

Integrando sobre o círculo unitário, notamos que as integrais de termos ímpares como e sobre regiões simétricas ao redor da origem resultam em zero devido à simetria. Portanto:
Então,

Resposta

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para qualquer função contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em .
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Mostre que se é uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem em , então
com a superfície regular, fechada e orientável, que delimita uma região vetor normal unitário exterior a e .