Calcule a integral
integral duplaS(F bul<=t n) d S
nos seguintes casos: F=x^2 i+y^2 j, S é a região delimitada pela elipse 4 x^2+25 y^2=100.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve um campo vetorial e uma elipse. O enunciado nos dá o campo vetorial F = x^2 i + y^2 j e uma superfície S delimitada pela elipse 4x^2 + 25y^2 = 100. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de divergência de um campo vetorial e aplicar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral integral duplaS(F bul<=t n) dS. Isso representa o fluxo do campo F através da superfície S. Para facilitar, podemos usar o Teorema de Gauss, que nos permite transformar essa integral de superfície em uma integral dupla sobre a região delimitada por S.

Passo 3

O Teorema de Gauss diz que:
integral duplaS(F bul<=t n) dS = integral duplaD (nabla cdot F) dA
Aqui, nabla cdot F é a divergência do campo F, e D é a região delimitada pela superfície S. Então, nosso próximo passo é calcular a divergência de F.

Passo 4

A divergência de um campo vetorial F = P i + Q j é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y
No nosso caso, P = x^2 e Q = y^2. Vamos calcular cada derivada:
partial Ppartial x = partialpartial x (x^2) = 2x
partial Qpartial y = partialpartial y (y^2) = 2y
Então,
nabla cdot F = 2x + 2y

Passo 5

Agora que temos a divergência, podemos substituir na integral dupla:
integral duplaS(F bul<=t n) dS = integral duplaD (2x + 2y) dA
Para facilitar a integração, é conveniente mudar para coordenadas que se adequem à elipse. Nossa elipse é 4x^2 + 25y^2 = 100. Vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 100:
x^225 + y^24 = 1
Essa é a forma padrão da elipse, onde a^2 = 25 e b^2 = 4, então a = 5 e b = 2. Podemos usar uma mudança de variável para coordenadas elípticas:
x = 5u y = 2v
Com isso, a área dA se transforma em:
dA = |J| du dv
Onde |J| é o determinante da matriz jacobiana da transformação, que para essa mudança de variável é:
|J| = | cc partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v | = | cc 5 & 0 0 & 2 | = 5 times 2 = 10

Passo 6

Agora, vamos expressar a integral em termos de u e v:
integral duplaD (2x + 2y) dA = integral duplaD' (2 times 5u + 2 times 2v) times 10 du dv = integral duplaD' (10u + 4v) times 10 du dv = integral duplaD' (100u + 40v) du dv
Onde D' é a região unitarizada, ou seja, a elipse transformada fica como um círculo unitário u^2 + v^2 <= 1.

Passo 7

Integrando sobre o círculo unitário, notamos que as integrais de termos ímpares como u e v sobre regiões simétricas ao redor da origem resultam em zero devido à simetria. Portanto:
integral duplaD' 100u , du dv = 0 integral duplaD' 40v , du dv = 0
Então,
integral duplaD' (100u + 40v) du dv = 0 + 0 = 0

Resposta

integral duplaS(F bul<=t n) d S = 0

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