nos seguintes casos: é a região delimitada pela elipse .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve um campo vetorial e uma elipse. O enunciado nos dá o campo vetorial e uma superfície delimitada pela elipse . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de divergência de um campo vetorial e aplicar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral . Isso representa o fluxo do campo através da superfície . Para facilitar, podemos usar o Teorema de Gauss, que nos permite transformar essa integral de superfície em uma integral dupla sobre a região delimitada por .
Passo 3
O Teorema de Gauss diz que:
Aqui, é a divergência do campo , e é a região delimitada pela superfície . Então, nosso próximo passo é calcular a divergência de .
Passo 4
A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, e . Vamos calcular cada derivada:
Então,
Passo 5
Agora que temos a divergência, podemos substituir na integral dupla:
Para facilitar a integração, é conveniente mudar para coordenadas que se adequem à elipse. Nossa elipse é . Vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 100:
Essa é a forma padrão da elipse, onde e , então e . Podemos usar uma mudança de variável para coordenadas elípticas:
Com isso, a área se transforma em:
Onde é o determinante da matriz jacobiana da transformação, que para essa mudança de variável é:
Passo 6
Agora, vamos expressar a integral em termos de u e v:
integral duplaD (2x + 2y) dA = integral duplaD' (2 times 5u + 2 times 2v) times 10 du dv = integral duplaD' (10u + 4v) times 10 du dv = integral duplaD' (100u + 40v) du dv
Onde D' é a região unitarizada, ou seja, a elipse transformada fica como um círculo unitário u^2 + v^2 <= 1.
Passo 7
Integrando sobre o círculo unitário, notamos que as integrais de termos ímpares como u e v sobre regiões simétricas ao redor da origem resultam em zero devido à simetria. Portanto:
integral duplaD' 100u , du dv = 0 integral duplaD' 40v , du dv = 0