Seja S uma superfície regular por partes, fechada simples e orientável, que delimita a região U no espaço. Mostre que o volume V(U) da região U é dada por
V(U) & =integral duplaS x d y d z=integral duplaS y d z d x=integral duplaS z d x d y & =13 integral duplaS(x d y d z+y d z d x+z d x d y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma superfície regular, fechada, simples e orientável chamada que delimita uma região no espaço. A tarefa é mostrar que o volume dessa região pode ser calculado usando integrais de superfície das coordenadas , e . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e o teorema de Gauss (ou divergência).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de superfície. Imagine que você tem uma superfície tridimensional e quer somar pequenas quantidades ao longo dela. No nosso caso, queremos somar as coordenadas , e multiplicadas por diferentes dials diferenciais.

Passo 3

Agora, para relacionar essa integral de superfície com o volume , vamos usar o teorema de Gauss. Esse teorema conecta integrais de superfície com integrais de volume e é uma ferramenta poderosa para calcular volumes de regiões delimitadas por superfícies fechadas.

Passo 4

Aplicando o teorema de Gauss, temos que:
V(U) = 13 integral duplaS (x , dy , dz + y , dz , dx + z , dx , dy)
Isso significa que o volume pode ser calculado integrando essas combinações das coordenadas sobre a superfície .

Passo 5

Vamos entender cada termo:
  • : multiplica a coordenada pelas variações em e .
  • Similarmente para os outros termos.
Esses produtos representam como cada coordenada contribui para o volume total quando somadas sobre toda a superfície.

Passo 6

Somando esses três termos e multiplicando por , obtemos a expressão completa para o volume . Essa combinação garante que todas as direções são consideradas de forma equilibrada no cálculo do volume.

Resposta

Portanto, o volume V(U) = 13 integral duplaS (x , dy , dz + y , dz , dx + z , dx , dy) da região é dado por:

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