Seja
uma superfície regular por partes, fechada simples e orientável, que delimita a região
no espaço. Mostre que o volume
da região
é dada por
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma superfície regular, fechada, simples e orientável chamada
que delimita uma região
no espaço. A tarefa é mostrar que o volume
dessa região pode ser calculado usando integrais de superfície das coordenadas
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e o teorema de Gauss (ou divergência).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de superfície. Imagine que você tem uma superfície tridimensional
e quer somar pequenas quantidades ao longo dela. No nosso caso, queremos somar as coordenadas
,
e
multiplicadas por diferentes dials diferenciais.
Passo 3
Agora, para relacionar essa integral de superfície com o volume
, vamos usar o teorema de Gauss. Esse teorema conecta integrais de superfície com integrais de volume e é uma ferramenta poderosa para calcular volumes de regiões delimitadas por superfícies fechadas.
Passo 4
Aplicando o teorema de Gauss, temos que:
Isso significa que o volume pode ser calculado integrando essas combinações das coordenadas sobre a superfície
.
Passo 5
Vamos entender cada termo:
-
: multiplica a coordenada pelas variações em e . - Similarmente para os outros termos.
Esses produtos representam como cada coordenada contribui para o volume total quando somadas sobre toda a superfície.
Passo 6
Somando esses três termos e multiplicando por
, obtemos a expressão completa para o volume
. Essa combinação garante que todas as direções são consideradas de forma equilibrada no cálculo do volume.
Resposta
Portanto, o volume
da região
é dado por: