Seja uma superfície regular por partes, fechada simples e orientável, que delimita a região no espaço. Mostre que o volume da região é dada por

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma superfície regular, fechada, simples e orientável chamada que delimita uma região no espaço. A tarefa é mostrar que o volume dessa região pode ser calculado usando integrais de superfície das coordenadas , e . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e o teorema de Gauss (ou divergência).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de superfície. Imagine que você tem uma superfície tridimensional e quer somar pequenas quantidades ao longo dela. No nosso caso, queremos somar as coordenadas , e multiplicadas por diferentes dials diferenciais.

Passo 3

Agora, para relacionar essa integral de superfície com o volume , vamos usar o teorema de Gauss. Esse teorema conecta integrais de superfície com integrais de volume e é uma ferramenta poderosa para calcular volumes de regiões delimitadas por superfícies fechadas.

Passo 4

Aplicando o teorema de Gauss, temos que:
Isso significa que o volume pode ser calculado integrando essas combinações das coordenadas sobre a superfície .

Passo 5

Vamos entender cada termo:
  • : multiplica a coordenada pelas variações em e .
  • Similarmente para os outros termos.
Esses produtos representam como cada coordenada contribui para o volume total quando somadas sobre toda a superfície.

Passo 6

Somando esses três termos e multiplicando por , obtemos a expressão completa para o volume . Essa combinação garante que todas as direções são consideradas de forma equilibrada no cálculo do volume.

Resposta

Portanto, o volume da região é dado por:

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Calcule a integral
nos seguintes casos: é a região delimitada pela elipse .
Seja uma função contínua com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em . Mostre que se em ,
para qualquer função contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em .
Mostre que se é uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem em , então
com a superfície regular, fechada e orientável, que delimita uma região vetor normal unitário exterior a e .
Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva obtida pela interseção do plano com os planos coordenados.