Suponha que
para
.
Determine as seguintes probabilidades:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
ou
(f) Determine x tal que
.
Determine as seguintes probabilidades:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) Determine x tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função $ f(x) = 1,5x^{2} $ definida no intervalo de
a
. Isso é uma função de densidade de probabilidade, que nos ajuda a calcular probabilidades para a variável aleatória $ X $. Para resolver as questões, vamos precisar entender como integrar essa função em diferentes intervalos para encontrar as probabilidades pedidas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que para uma função ser uma densidade de probabilidade válida no intervalo
, a integral de $ f(x) $ nesse intervalo deve ser igual a 1. Vamos verificar isso:
Tudo certo, nossa função é uma densidade de probabilidade válida.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (a):
. Isso significa a probabilidade de $ X $ ser maior que 0. Como a função é simétrica em torno de 0 (porque $ x^{2} $ é par), podemos entender que a probabilidade de $ X $ ser maior que 0 é igual a 0,5.
Passo 4
Agora, a parte (b):
. Aqui, queremos a probabilidade de $ X $ ser maior que 0,5. Vamos integrar a função de 0,5 até 1.
Passo 5
Vamos para a parte ©:
. Aqui, queremos a probabilidade de $ X $ estar entre -0,5 e 0,5. Como a função é simétrica, podemos calcular a integral de 0 a 0,5 e multiplicar por 2.
Passo 6
Agora, a parte (d):
. Observamos que o intervalo de $ X $ é de -1 a 1. Portanto, $ X $ nunca será menor que -1, e muito menos que -2. Assim, a probabilidade é 0.
Passo 7
Vamos para a parte (e):
. Primeiro, precisamos interpretar essa expressão. A probabilidade de $ X < 0 $ ou $ X > -0,5 $ na verdade abrange quase todo o intervalo
, exceto quando $ X $ está entre
e 0. Portanto:
Calculando
:
Então:
Passo 8
Por fim, a parte (f): Determinar $ x $ tal que
. Isso significa que queremos encontrar o valor de $ x $ onde a probabilidade de $ X $ ser maior que esse valor é 5%.
Matematicamente, isso é:
Então, precisamos resolver a integral:
Calculando a integral:
Resolvendo para $ x $:
Resposta
(a) $ \mathrm{P}(0 < X) = 0,5 $
(b) $ \mathrm{P}(0,5 < X) = 0,4375 $
© $ \mathrm{P}(-0,5 \leq X \leq 0,5) = 0,375 $
(d) $ \mathrm{P}(X < -2) = 0 $
(e) $ \mathrm{P}(X < 0 ou X > -0,5) = 0,9375 $
(f) $ x \approx 0,9655 $ tal que $ \mathrm{P}(X > x) = 0,05 $