Suponha que f(x)=1,5 x^2 para -1.
Determine as seguintes probabilidades:
(a) P(0
(b) P(0,5
© P(-0,5 <= X <= 0,5)
(d) P(X<-2)
(e) P(X<0 ou X>-0,5)
(f) Determine x tal que P(x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função $ f(x) = 1,5x^{2} $ definida no intervalo de f(x) = 1,5x^2 a -1. Isso é uma função de densidade de probabilidade, que nos ajuda a calcular probabilidades para a variável aleatória $ X $. Para resolver as questões, vamos precisar entender como integrar essa função em diferentes intervalos para encontrar as probabilidades pedidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para uma função ser uma densidade de probabilidade válida no intervalo [-1, 1], a integral de $ f(x) $ nesse intervalo deve ser igual a 1. Vamos verificar isso:
f(x)
Tudo certo, nossa função é uma densidade de probabilidade válida.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (a): P(0 < X). Isso significa a probabilidade de $ X $ ser maior que 0. Como a função é simétrica em torno de 0 (porque $ x^{2} $ é par), podemos entender que a probabilidade de $ X $ ser maior que 0 é igual a 0,5.
X

Passo 4

Agora, a parte (b): P(0,5 < X). Aqui, queremos a probabilidade de $ X $ ser maior que 0,5. Vamos integrar a função de 0,5 até 1.
X

Passo 5

Vamos para a parte ©: P(-0,5 <= X <= 0,5). Aqui, queremos a probabilidade de $ X $ estar entre -0,5 e 0,5. Como a função é simétrica, podemos calcular a integral de 0 a 0,5 e multiplicar por 2.
X

Passo 6

Agora, a parte (d): P(X < -2). Observamos que o intervalo de $ X $ é de -1 a 1. Portanto, $ X $ nunca será menor que -1, e muito menos que -2. Assim, a probabilidade é 0.
X

Passo 7

Vamos para a parte (e): P(X < 0 ou X > -0,5). Primeiro, precisamos interpretar essa expressão. A probabilidade de $ X < 0 $ ou $ X > -0,5 $ na verdade abrange quase todo o intervalo X < 0 , exceto quando $ X $ está entre X > -0,5 e 0. Portanto:
[-1, 1]
Calculando X :
-0,5
Então:
P(X < 0 ou X > -0,5) = 1 - P(-0,5 <= X <= 0)

Passo 8

Por fim, a parte (f): Determinar $ x $ tal que x . Isso significa que queremos encontrar o valor de $ x $ onde a probabilidade de $ X $ ser maior que esse valor é 5%.
Matematicamente, isso é:
P(x < X) = 0,05
Então, precisamos resolver a integral:
x
Calculando a integral:
X
Resolvendo para $ x $:
P(X > x) = 0,05 Rightarrow P(X <= x) = 0,95

Resposta

(a) $ \mathrm{P}(0 < X) = 0,5 $
(b) $ \mathrm{P}(0,5 < X) = 0,4375 $
© $ \mathrm{P}(-0,5 \leq X \leq 0,5) = 0,375 $
(d) $ \mathrm{P}(X < -2) = 0 $
(e) $ \mathrm{P}(X < 0 ou X > -0,5) = 0,9375 $
(f) $ x \approx 0,9655 $ tal que $ \mathrm{P}(X > x) = 0,05 $

Exercícios relacionados