Esboce o gráfico de considerando:
(d) Intervalos de crescimento e decrescimento

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de esboçar o gráfico da função , focando nos intervalos onde a função está crescendo e decrescendo. Para isso, a gente vai usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, se ela está aumentando ou diminuindo em cada intervalo.
A função é:
Aplicando a regra do quociente, onde se , então:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Então, a derivada fica:

Passo 3

Agora, para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar o sinal da derivada .
A função está crescendo onde e decrescendo onde .
Olhando para a derivada:
Sabemos que é sempre positivo, e também é sempre positivo (já que é um quadrado). Então, o sinal da derivada depende apenas do coeficiente -4 no numerador.
Isso significa que é sempre negativo, ou seja:

Passo 4

Como a derivada é sempre negativa, a função está sempre decrescendo em todos os intervalos do seu domínio.

Resposta

A função está decrescendo em todos os intervalos do seu domínio.

Exercícios relacionados

Encontre a equação da reta normal à hipérbole passando pelos pontos e . Verifique que se trata da mesma reta. Faça um gráfico.
(Bônus) A função é inversível no intervalo . Calcule .
Esboce o gráfico de considerando:
© Máximos e mínimos locais
Mostre que se é derivável no ponto pertencente ao domínio de , então ela é contínua em .