Mostre que
não é derivável em
. Esboce o gráfico de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função definida por partes
não é derivável em
. Vamos usar conceitos de derivada e continuidade para resolver isso. Precisaremos entender as derivadas laterais e verificar se elas são iguais nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é derivável em um ponto se ela for continua nesse ponto e se as derivadas pela esquerda e pela direita existirem e forem iguais. Então, vamos verificar a continuidade em
.
Passo 3
Para a função ser contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao valor de
.
Calculando:
- Quando
: - Quando
:
Então, a função é contínua em
porque os limites coincidem.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas laterais em
.
- Derivada para
: - Derivada para
:
Passo 5
As derivadas laterais em
são:
- Pela esquerda:
- Pela direita:
Como
, as derivadas laterais não são iguais.
Resposta
Portanto, como as derivadas pela esquerda e pela direita em
são diferentes, a função
não é derivável em
. Além disso, ao esboçarmos os gráficos de
e
, veremos uma “quebra” no gráfico de
em
e uma descontinuidade no gráfico de
.
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
, sendo dados:
(a) e
(b) e
© e
(d) e
.
(a)
(b)
©
(d)
Determine
e
nos seguintes casos:
(a)
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Use a definição de derivada para provar as seguintes fórmulas:
(a) , onde
é uma constante
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
A função
é derivável em
? Justifique!