Mostre que f(x) = { 2x + 1, se x < 1; -x + 4, se x ≥ 1 } não é derivável em p = 1. Esboce o gráfico de f e f'.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função definida por partes não é derivável em . Vamos usar conceitos de derivada e continuidade para resolver isso. Precisaremos entender as derivadas laterais e verificar se elas são iguais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é derivável em um ponto se ela for continua nesse ponto e se as derivadas pela esquerda e pela direita existirem e forem iguais. Então, vamos verificar a continuidade em .

Passo 3

Para a função ser contínua em , o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao valor de .
Calculando:
  • Quando :
  • Quando :
Então, a função é contínua em porque os limites coincidem.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas laterais em .
  • Derivada para :
  • Derivada para :

Passo 5

As derivadas laterais em são:
  • Pela esquerda:
  • Pela direita:
Como , as derivadas laterais não são iguais.

Resposta

Portanto, como as derivadas pela esquerda e pela direita em são diferentes, a função não é derivável em . Além disso, ao esboçarmos os gráficos de e , veremos uma “quebra” no gráfico de em e uma descontinuidade no gráfico de .

Exercícios relacionados