Mostre que não é derivável em . Esboce o gráfico de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função definida por partes não é derivável em . Vamos usar conceitos de derivada e continuidade para resolver isso. Precisaremos entender as derivadas laterais e verificar se elas são iguais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é derivável em um ponto se ela for continua nesse ponto e se as derivadas pela esquerda e pela direita existirem e forem iguais. Então, vamos verificar a continuidade em .

Passo 3

Para a função ser contínua em , o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao valor de .
Calculando:
  • Quando :
  • Quando :
Então, a função é contínua em porque os limites coincidem.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas laterais em .
  • Derivada para :
  • Derivada para :

Passo 5

As derivadas laterais em são:
  • Pela esquerda:
  • Pela direita:
Como , as derivadas laterais não são iguais.

Resposta

Portanto, como as derivadas pela esquerda e pela direita em são diferentes, a função não é derivável em . Além disso, ao esboçarmos os gráficos de e , veremos uma “quebra” no gráfico de em e uma descontinuidade no gráfico de .

Exercícios relacionados

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto , sendo dados:
(a) e
(b) e
© e
(d) e .
Determine e nos seguintes casos:
(a)
(b)
©
(d) .
Use a definição de derivada para provar as seguintes fórmulas:
(a) , onde é uma constante
(b)
©
(d) .
A função é derivável em ? Justifique!