A função
é derivável em
? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá uma função que muda de fórmula dependendo do valor de
. Nosso objetivo é descobrir se essa função é derivável no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável nesse ponto e verificar se todas as condições necessárias estão satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função ser derivável em um ponto quer dizer que ela tem uma derivada nesse ponto. A derivada basicamente nos diz a inclinação da função naquele ponto, ou seja, como ela está crescendo ou decrescendo.
Passo 3
Antes de mais nada, precisamos verificar se a função é contínua no ponto
. Isso porque, se a função tiver um “salto” ou quebra nesse ponto, ela não pode ser derivável ali.
Passo 4
Vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
Passo 5
Agora, o limite quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
Passo 6
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (
), a função não é contínua em
.
Passo 7
Já que a continuidade é uma condição necessária para a derivabilidade, podemos concluir que a função não é derivável em
.
Resposta
Não, a função
não é derivável em
, pois ela não é contínua nesse ponto.
Exercícios relacionados
Use a definição de derivada para provar as seguintes fórmulas:
(a) , onde
é uma constante
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Mostre que
não é derivável em
. Esboce o gráfico de
e
.
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
Encontre a inversa das seguintes funções:
e
.