A função é derivável em ? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá uma função que muda de fórmula dependendo do valor de . Nosso objetivo é descobrir se essa função é derivável no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável nesse ponto e verificar se todas as condições necessárias estão satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função ser derivável em um ponto quer dizer que ela tem uma derivada nesse ponto. A derivada basicamente nos diz a inclinação da função naquele ponto, ou seja, como ela está crescendo ou decrescendo.

Passo 3

Antes de mais nada, precisamos verificar se a função é contínua no ponto . Isso porque, se a função tiver um “salto” ou quebra nesse ponto, ela não pode ser derivável ali.

Passo 4

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):

Passo 5

Agora, o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):

Passo 6

Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ), a função não é contínua em .

Passo 7

Já que a continuidade é uma condição necessária para a derivabilidade, podemos concluir que a função não é derivável em .

Resposta

Não, a função não é derivável em , pois ela não é contínua nesse ponto.

Exercícios relacionados

Use a definição de derivada para provar as seguintes fórmulas:
(a) , onde é uma constante
(b)
©
(d) .
Mostre que não é derivável em . Esboce o gráfico de e .
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m) .
Encontre a inversa das seguintes funções: e .