Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) ly^prime prime+4 y=sent mho(t-2 pi) y(0)=1, y^prime(0)=0
i) ly^prime prime-5 y^prime+6 y=mho(t-1) y(0)=0, y^prime(0)=1
j)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
y' + 4y = e^-4t
com a condição inicial . Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. Para isso, precisaremos aplicar a transformada nas duas partes da equação e usar as propriedades das transformadas para simplificar e encontrar a solução para .
Passo 2
A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Ela transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a solução de equações diferenciais lineares.
Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Ly' + 4Ly = Le^-4t
Sabemos que:
Ly' = sY(s) - y(0)
e
Le^-4t = 1s + 4
onde sY(s) - y(0) + 4Y(s) = 1s + 4 é a transformada de Laplace de .