Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
a) ly^prime+4 y=e^-4 t y(0)=0
b) ly^prime-y=sen t y(0)=0
c) ly^prime prime-4 y^prime+4 y=t^3 e^2 t y(0)=y^prime(0)=0
d) ly^prime prime-y^prime=e^t cos t y(0)=y^prime(0)=0
e) ly^prime prime prime+2 y^prime prime-y^prime-2 y=sen 3 t y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1
f) ly^i v-y=t y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=y^prime prime prime(0)=0
g) ly^prime prime+4 y=f(t) onde f(t)=c1,0 <= t<1 0, t >= 1 y(0)=0, y^prime(0)=-1
h) ly^prime prime+4 y=sent mho(t-2 pi) y(0)=1, y^prime(0)=0
i) ly^prime prime-5 y^prime+6 y=mho(t-1) y(0)=0, y^prime(0)=1
j)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
y' + 4y = e^-4t
com a condição inicial . Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação. Para isso, precisaremos aplicar a transformada nas duas partes da equação e usar as propriedades das transformadas para simplificar e encontrar a solução para .

Passo 2

A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Ela transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a solução de equações diferenciais lineares.
Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Ly' + 4Ly = Le^-4t
Sabemos que:
Ly' = sY(s) - y(0)
e
Le^-4t = 1s + 4
onde sY(s) - y(0) + 4Y(s) = 1s + 4 é a transformada de Laplace de .
Substituindo na equação:

Passo 3

Agora, substituímos a condição inicial sY(s) + 4Y(s) = 1s + 4 :
Y(s)(s + 4) = 1s + 4
Fatorando :

Passo 4

Para encontrar Y(s) = 1(s + 4)^2 , isolamos:
L^-11(s + a)^2 = t e^-a t
Agora, precisamos voltar para o domínio do tempo aplicando a Transformada de Laplace inversa.
Sabemos que:
onde .

Passo 5

Aplicando a transformada inversa:
y(t) = t e^-4t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = t, e^-4t

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