Mostre como fica a derivada material de um vetor b em notação indicial

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar como fica a derivada material de um vetor $ \mathbf{b} $ usando a notação indicial. Isso está dentro do estudo de Mecânica dos Fluidos ou Mecânica dos Sólidos, onde trabalhamos com como vetores e outras grandezas mudam ao longo do tempo em um fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a derivada material e como expressar operações vetoriais usando índices.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada material. Ela representa a taxa de variação de uma quantidade (neste caso, um vetor $ \mathbf{b} $) seguindo o movimento de um fluido ou de um ponto em um material. Ou seja, além da variação local no tempo, considera também como a quantidade muda devido ao movimento espacial.

Passo 3

Em notação vetorial, a derivada material de $ \mathbf{b} $ é dada por:
b
Onde:
  • $ \frac{\partial \mathbf{b}}{\partial t} $ é a derivada parcial de $ \mathbf{b} $ em relação ao tempo.
  • $ \mathbf{v} $ é o vetor velocidade.
  • $ (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{b} $ representa a mudança de $ \mathbf{b} $ devido ao fluxo.
  • $ \mathbf{b} \cdot \nabla \mathbf{v} $ é a interação entre $ \mathbf{b} $ e o gradiente de $ \mathbf{v} $.

Passo 4

Agora, vamos converter isso para notação indicial. Na notação indicial, usamos índices para representar as componentes dos vetores e tensores. Vamos denotar $ b_i $ como a componente $ i $-ésima do vetor $ \mathbf{b} $ e $ v_j $ como a componente $ j $-ésima do vetor $ \mathbf{v} $.

Passo 5

Aplicando a notação indicial na expressão da derivada material, temos:
DbiDt = partial bipartial t + vj partial bipartial xj - bj partial vipartial xj
Aqui:
  • $ \frac{\partial b_i}{\partial t} $ é a derivada parcial de $ b_i $ em relação ao tempo.
  • $ v_j \frac{\partial b_i}{\partial x_j} $ representa a advecção de $ b_i $ pela velocidade $ v_j $.
  • $ b_j \frac{\partial v_i}{\partial x_j} $ mostra como $ \mathbf{b} $ é afetado pelo gradiente de $ \mathbf{v} $.

Passo 6

Explicando cada termo:
  1. $ \frac{\partial b_i}{\partial t} $: Mudança de $ b_i $ no tempo em um ponto fixo.
  2. $ v_j \frac{\partial b_i}{\partial x_j} $: Mudança de $ b_i $ devido ao movimento no espaço, ou seja, como $ b_i $ varia ao longo das direções espaciais $ x_j $ multiplicadas pela velocidade nessas direções.
  3. $ b_j \frac{\partial v_i}{\partial x_j} $: Interação entre o vetor $ \mathbf{b} $ e a variação da velocidade $ \mathbf{v} $ na direção $ j $, afetando a componente $ i $ de $ \mathbf{b} $.

Resposta

A derivada material do vetor $ \mathbf{b} $ em notação indicial é dada por:
b

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