Usando notação indicial, mostre que o termo de variação advectiva da derivada material pode ser escrito como:
u cdot nabla u=(u cdot nabla) u

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar, usando notação indicial, que o termo de variação advectiva da derivada material pode ser escrito como $ u \cdot \nabla u = (u \cdot \nabla) u $. Basicamente, estamos lidando com vetores e derivadas em cálculo vetorial, e vamos usar a notação com índices (como $ u_i $) para facilitar as contas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ u \cdot \nabla u $. Aqui, $ u $ é um vetor de velocidade, e $ \nabla $ é o operador nabla, que representa as derivadas parciais em relação às coordenadas espaciais. O ponto entre $ u $ e $ \nabla $ indica um produto escalar.

Passo 3

Para usar a notação indicial, vamos escrever $ u \cdot \nabla u $ em termos de componentes. Se $ u $ tem componentes $ u_i $ e $ \nabla u $ tem componentes $ \frac{\partial u_j}{\partial x_i} $, então o produto escalar fica:
u cdot nabla u
Aqui, somamos sobre o índice $ i $ (regra de Einstein de somatório implícito).

Passo 4

Agora, vamos analisar o lado direito da igualdade que queremos provar: $ (u \cdot \nabla) u $. Isso significa que primeiro fazemos o produto escalar $ u \cdot \nabla $ e depois aplicamos isso ao vetor $ u $.
Em notação indicial, $ (u \cdot \nabla) u $ fica:
(u cdot nabla) u

Passo 5

Comparando as duas expressões que obtivemos:
u cdot nabla u = ui partial ujpartial xi
(u cdot nabla) uj = ui partial ujpartial xi
Elas são iguais! Isso mostra, usando a notação indicial, que $ u \cdot \nabla u $ é de fato igual a $ (u \cdot \nabla) u $.

Resposta

Assim, demonstramos que usando notação indicial, o termo de variação advectiva da derivada material satisfaz $ u \cdot \nabla u = (u \cdot \nabla) u $.

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