Usando notação indicial, mostre que se:
m+n+r=0
Onde m, n e r são vetores, então:
m times n=n times r=r times m

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação envolvendo vetores: $ \mathbf{m} + \mathbf{n} + \mathbf{r} = 0 $. Nosso objetivo é provar que $ \mathbf{m} \times \mathbf{n} = \mathbf{n} \times \mathbf{r} = \mathbf{r} \times \mathbf{m} $. Vamos usar a notação indicial, que é uma forma de escrever componentes de vetores usando índices (como i, j, k). Para isso, precisamos lembrar de como o produto vetorial funciona e como expressamos isso com índices.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a condição $ \mathbf{m} + \mathbf{n} + \mathbf{r} = 0 $. Isso significa que $ \mathbf{r} = -(\mathbf{m} + \mathbf{n}) $. Ou seja, o vetor $ \mathbf{r} $ é igual ao negativo da soma de $ \mathbf{m} $ e $ \mathbf{n} $.

Passo 3

Agora, vamos expressar o produto vetorial usando notação indicial. O componente $ k $ do produto vetorial $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $ pode ser escrito como:
k
Aqui, $ \epsilon_{ijk} $ é o símbolo de Levi-Civita, que ajuda a calcular o produto vetorial de forma componente a componente.

Passo 4

Vamos calcular $ \mathbf{m} \times \mathbf{n} $ usando essa fórmula:
m times n
Esse é o componente $ k $ do vetor resultante do produto vetorial entre $ \mathbf{m} $ e $ \mathbf{n} $.

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \mathbf{n} \times \mathbf{r} $. Sabemos que $ \mathbf{r} = -(\mathbf{m} + \mathbf{n}) $, então:
n times r
Como o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero ($ \mathbf{n} \times \mathbf{n} = 0 $), temos:
r = -(m + n)
Portanto, $ \mathbf{n} \times \mathbf{r} = \mathbf{m} \times \mathbf{n} $.

Passo 6

Finalmente, vamos calcular $ \mathbf{r} \times \mathbf{m} $. Usando $ \mathbf{r} = -(\mathbf{m} + \mathbf{n}) $:
r times m
Mais uma vez, $ \mathbf{m} \times \mathbf{m} = 0 $, então:
r = -(m + n)
Assim, $ \mathbf{r} \times \mathbf{m} = \mathbf{m} \times \mathbf{n} $.

Resposta

Portanto, mostramos que $ \mathbf{m} \times \mathbf{n} = \mathbf{n} \times \mathbf{r} = \mathbf{r} \times \mathbf{m} $ quando $ \mathbf{m} + \mathbf{n} + \mathbf{r} = 0 $.

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