Usando notação indicial, mostre que se:
Onde
e r são vetores, então:
Onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação envolvendo vetores: $ \mathbf{m} + \mathbf{n} + \mathbf{r} = 0 $. Nosso objetivo é provar que $ \mathbf{m} \times \mathbf{n} = \mathbf{n} \times \mathbf{r} = \mathbf{r} \times \mathbf{m} $. Vamos usar a notação indicial, que é uma forma de escrever componentes de vetores usando índices (como i, j, k). Para isso, precisamos lembrar de como o produto vetorial funciona e como expressamos isso com índices.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a condição $ \mathbf{m} + \mathbf{n} + \mathbf{r} = 0 $. Isso significa que $ \mathbf{r} = -(\mathbf{m} + \mathbf{n}) $. Ou seja, o vetor $ \mathbf{r} $ é igual ao negativo da soma de $ \mathbf{m} $ e $ \mathbf{n} $.
Passo 3
Agora, vamos expressar o produto vetorial usando notação indicial. O componente $ k $ do produto vetorial $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $ pode ser escrito como:
Aqui, $ \epsilon_{ijk} $ é o símbolo de Levi-Civita, que ajuda a calcular o produto vetorial de forma componente a componente.
Passo 4
Vamos calcular $ \mathbf{m} \times \mathbf{n} $ usando essa fórmula:
Esse é o componente $ k $ do vetor resultante do produto vetorial entre $ \mathbf{m} $ e $ \mathbf{n} $.
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \mathbf{n} \times \mathbf{r} $. Sabemos que $ \mathbf{r} = -(\mathbf{m} + \mathbf{n}) $, então:
Como o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero ($ \mathbf{n} \times \mathbf{n} = 0 $), temos:
Portanto, $ \mathbf{n} \times \mathbf{r} = \mathbf{m} \times \mathbf{n} $.
Passo 6
Finalmente, vamos calcular $ \mathbf{r} \times \mathbf{m} $. Usando $ \mathbf{r} = -(\mathbf{m} + \mathbf{n}) $:
Mais uma vez, $ \mathbf{m} \times \mathbf{m} = 0 $, então:
Assim, $ \mathbf{r} \times \mathbf{m} = \mathbf{m} \times \mathbf{n} $.
Resposta
Portanto, mostramos que $ \mathbf{m} \times \mathbf{n} = \mathbf{n} \times \mathbf{r} = \mathbf{r} \times \mathbf{m} $ quando $ \mathbf{m} + \mathbf{n} + \mathbf{r} = 0 $.