Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que você enviou. A questão envolve uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação e encontrar a função
que satisfaz a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial. A equação que temos é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e os outros termos são funções de
.
Passo 3
Esse tipo de equação é chamada de equação linear de primeira ordem e tem a forma geral:
No nosso caso,
e
. Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante
que nos ajude a simplificar a equação.
Passo 4
O fator integrante é dado por:
Substituindo
temos:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Isso é uma propriedade útil que nos facilita a resolução.
Passo 6
Escrevendo o lado esquerdo como uma derivada, temos:
Agora, para encontrar
, precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 7
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Para calcular a integral
, podemos usar o método de integração por partes duas vezes. Após resolver a integral, encontramos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
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.
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a) Definição: Uma equação diferencial é dita exata, quando pode ser escrita na forma
com
e
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, que torna exata a equação
.