Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que você enviou. A questão envolve uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação e encontrar a função que satisfaz a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial. A equação que temos é:
Aqui, é a derivada de em relação a , e os outros termos são funções de .

Passo 3

Esse tipo de equação é chamada de equação linear de primeira ordem e tem a forma geral:
No nosso caso, e . Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar a equação.

Passo 4

O fator integrante é dado por:
Substituindo temos:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Isso é uma propriedade útil que nos facilita a resolução.

Passo 6

Escrevendo o lado esquerdo como uma derivada, temos:
Agora, para encontrar , precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 7

Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Para calcular a integral , podemos usar o método de integração por partes duas vezes. Após resolver a integral, encontramos:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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