Dada a função f(x, y) = x^2 - 2*x^3 + 3*x*y, encontre a equação da curva de nível de f que passa pelos pontos (-1, 1) e (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções de duas variáveis e curvas de nível. A gente vai precisar entender o que é uma curva de nível e como encontrar a equação dela para a função dada, de modo que passe pelos pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis , uma curva de nível é o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Isso significa que em toda a curva, a função assume o mesmo valor .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a curva de nível que passa pelos pontos e . Para isso, precisamos descobrir qual é o valor de que faz com que ambos os pontos satisfaçam a equação .

Passo 4

Vamos calcular o valor de usando o primeiro ponto . Substituindo na função:
Então, .

Passo 5

Para confirmar, vamos verificar se o segundo ponto também satisfaz :
Sim, também dá zero. Então, ambos os pontos estão na curva de nível quando .

Passo 6

Agora que sabemos que , a equação da curva de nível é simplesmente:
Substituindo a função dada:
Esta é a equação da curva de nível que passa pelos pontos mencionados.

Resposta

A equação da curva de nível é .

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