Se
é diferenciável,
e
, verifique:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é diferenciável. Queremos mostrar como as derivadas parciais de
em relação a
e
se relacionam com as derivadas em coordenadas polares
e
, onde
e . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fazer a mudança de coordenadas de
para
. Sabemos que:
Precisamos expressar
e
em termos de
e
.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia para derivadas parciais. Para
, temos:
E para
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Sabemos que:
Para
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na regra da cadeia, temos para
:
E para
:
Resposta
Assim, verificamos que: