Se z=f(x, y) é diferenciável, x=r cos theta e y=r sen theta, verifique:
partial zpartial x=partial zpartial r cos theta-partial zpartial theta sen thetar e partial zpartial y=partial zpartial r sen theta+partial zpartial theta cos thetar

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é diferenciável. Queremos mostrar como as derivadas parciais de em relação a e se relacionam com as derivadas em coordenadas polares e , onde e . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fazer a mudança de coordenadas de x = r cos theta e y = r sen theta para . Sabemos que:
Precisamos expressar e em termos de e .

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para derivadas parciais. Para partial zpartial x = partial zpartial r partial rpartial x + partial zpartial theta partial thetapartial x , temos:
partial zpartial y = partial zpartial r partial rpartial y + partial zpartial theta partial thetapartial y
E para :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de r = raizx^2 + y^2 Rightarrow partial rpartial x = xr = cos theta e partial rpartial y = yr = sen theta e theta = arctan(yx) Rightarrow partial thetapartial x = -yr^2 = -sen thetar e partial thetapartial y = xr^2 = cos thetar em relação a e . Sabemos que:
Para :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na regra da cadeia, temos para partial zpartial x = partial zpartial r cos theta + partial zpartial theta (-sen thetar) = partial zpartial r cos theta - partial zpartial theta sen thetar :
E para partial zpartial y = partial zpartial r sen theta + partial zpartial theta cos thetar :

Resposta

Assim, verificamos que:

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