Mostre que a função definida por
não é igual à sua série de Maclaurin.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A tarefa é mostrar que essa função não é igual à sua série de Maclaurin. Para isso, vamos precisar saber como construir a série de Maclaurin e comparar com a função original.
Passo 2
Primeiro, lembra que a série de Maclaurin de uma função é uma série de potências centrada em
. Ela é dada por:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
. Então, para encontrar a série de Maclaurin de
, precisamos calcular todas essas derivadas no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
em
. Observando a função
para
, notamos que ela é extremamente suave. De fato, todas as derivadas dessa função em
são iguais a zero. Isso acontece porque, conforme
se aproxima de zero,
decai mais rápido que qualquer polinômio cresce.
Portanto, para todo
:
Passo 4
Com isso, a série de Maclaurin de
fica:
Ou seja, a série de Maclaurin de
é simplesmente zero para todo
.
Passo 5
Agora, vamos comparar com a função original. Para
:
Portanto, a função
assume valores diferentes de zero quando
não é zero, enquanto a sua série de Maclaurin é sempre zero.
Resposta
A série de Maclaurin de
é igual a zero para todo
, mas
é diferente de zero para
. Assim,
não é igual à sua série de Maclaurin.
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Mostre que a distância entre dois planos paralelos
e
é
Use a) e/ou b) e o Teorema da Comparação para decidir se
é convergente ou divergente.
Considere os vetores
e
ache:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Determine as equações paramétricas da retas que verificam as condições dadas abaixo:
(a) Passa pela origem e pelo ponto .
(b) Passa pelo ponto e é perpendicular aos vetores
e
.
© Passa pelo ponto e é paralela a reta
.
(a) Passa pela origem e pelo ponto
(b) Passa pelo ponto
© Passa pelo ponto