Mostre que a função definida por
f(x) = { e^(-1/x^2) se x != 0, 0 se x = 0 }
não é igual à sua série de Maclaurin.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A tarefa é mostrar que essa função não é igual à sua série de Maclaurin. Para isso, vamos precisar saber como construir a série de Maclaurin e comparar com a função original.

Passo 2

Primeiro, lembra que a série de Maclaurin de uma função é uma série de potências centrada em . Ela é dada por:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em . Então, para encontrar a série de Maclaurin de , precisamos calcular todas essas derivadas no ponto .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de em . Observando a função para , notamos que ela é extremamente suave. De fato, todas as derivadas dessa função em são iguais a zero. Isso acontece porque, conforme se aproxima de zero, decai mais rápido que qualquer polinômio cresce.
Portanto, para todo :

Passo 4

Com isso, a série de Maclaurin de fica:
Ou seja, a série de Maclaurin de é simplesmente zero para todo .

Passo 5

Agora, vamos comparar com a função original. Para :
Portanto, a função assume valores diferentes de zero quando não é zero, enquanto a sua série de Maclaurin é sempre zero.

Resposta

A série de Maclaurin de é igual a zero para todo , mas é diferente de zero para . Assim, não é igual à sua série de Maclaurin.

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