Mostre que a distância entre dois planos paralelos
e
é
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações de planos paralelos:
e
Nosso objetivo é encontrar a distância entre esses dois planos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, especificamente como calcular a distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, identificamos que os planos são paralelos porque eles têm o mesmo vetor normal. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de
na equação do plano. Neste caso, o vetor normal
é:
Esse vetor é perpendicular a ambos os planos.
Passo 3
Para encontrar a distância entre os dois planos paralelos, podemos seguir o seguinte raciocínio: a distância entre os planos será a distância de um ponto de um dos planos até o outro plano. Vamos escolher um ponto qualquer em um dos planos para facilitar os cálculos.
Passo 4
Escolhemos um ponto no primeiro plano, por exemplo, quando
e
. Substituindo na equação do primeiro plano:
Portanto, um ponto no primeiro plano é
.
Passo 5
Agora, usamos a fórmula da distância de um ponto
a um plano
:
Aplicamos essa fórmula para o ponto
e o segundo plano
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
A distância entre os dois planos paralelos é: