Mostre que a distância entre dois planos paralelos e é

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações de planos paralelos:
e
Nosso objetivo é encontrar a distância entre esses dois planos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, especificamente como calcular a distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, identificamos que os planos são paralelos porque eles têm o mesmo vetor normal. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de na equação do plano. Neste caso, o vetor normal é:
Esse vetor é perpendicular a ambos os planos.

Passo 3

Para encontrar a distância entre os dois planos paralelos, podemos seguir o seguinte raciocínio: a distância entre os planos será a distância de um ponto de um dos planos até o outro plano. Vamos escolher um ponto qualquer em um dos planos para facilitar os cálculos.

Passo 4

Escolhemos um ponto no primeiro plano, por exemplo, quando e . Substituindo na equação do primeiro plano:
Portanto, um ponto no primeiro plano é .

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano :
Aplicamos essa fórmula para o ponto e o segundo plano .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:

Resposta

A distância entre os dois planos paralelos é:

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(a)
(b)
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