Mostre que a função
h(x) = { x, x ≥ 3; x²/3, x < 3 }
não é diferenciável em x0 = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que a função
h(x) = { x, x ≥ 3; x²/3, x < 3 }
não é diferenciável em . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente sobre derivadas e diferenciabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e como calcular a derivada de funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da razão incremental quando o intervalo tende a zero. Ou seja, para a função , a derivada em seria:
No entanto, como a função é definida de formas diferentes para e , precisaremos calcular os limites à direita e à esquerda de 3 separadamente.

Passo 3

Vamos calcular a derivada pela direita de 3, ou seja, considerando valores de que são maiores ou iguais a 3. Para , a função é . A derivada dessa parte é simplesmente:
Então, a derivada pela direita é 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda de 3, considerando valores de que são menores que 3. Para , a função é . A derivada dessa parte é:
Substituindo :
Então, a derivada pela esquerda é 2.

Passo 5

Para que a função seja diferenciável em , as derivadas pela direita e pela esquerda devem ser iguais. No nosso caso, temos:
Como 1 não é igual a 2, concluímos que as derivadas laterais não coincidem.

Resposta

Portanto, a função não é diferenciável em porque as derivadas pela direita e pela esquerda são diferentes.

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