Mostre que a função
não é diferenciável em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que a função
não é diferenciável em
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente sobre derivadas e diferenciabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e como calcular a derivada de funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da razão incremental quando o intervalo tende a zero. Ou seja, para a função
, a derivada em
seria:
No entanto, como a função
é definida de formas diferentes para
e
, precisaremos calcular os limites à direita e à esquerda de 3 separadamente.
Passo 3
Vamos calcular a derivada pela direita de 3, ou seja, considerando valores de
que são maiores ou iguais a 3. Para
, a função é
. A derivada dessa parte é simplesmente:
Então, a derivada pela direita é 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada pela esquerda de 3, considerando valores de
que são menores que 3. Para
, a função é
. A derivada dessa parte é:
Substituindo
:
Então, a derivada pela esquerda é 2.
Passo 5
Para que a função
seja diferenciável em
, as derivadas pela direita e pela esquerda devem ser iguais. No nosso caso, temos:
Como 1 não é igual a 2, concluímos que as derivadas laterais não coincidem.
Resposta
Portanto, a função
não é diferenciável em
porque as derivadas pela direita e pela esquerda são diferentes.
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