Uma partícula desloca-se sobre o eixo O_x com velocidade v(t) = t + 3, t <= 0. Sabendo-se que, no instante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = 2, determine a posição da partícula no instante t = 2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo do eixo com uma velocidade dada por . Sabemos que no instante , a posição da partícula é . Queremos descobrir qual será a posição da partícula no instante .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre posição, velocidade e tempo. Vamos utilizar a integração para encontrar a posição a partir da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que, para encontrar a posição a partir da velocidade, precisamos integrar a função de velocidade em relação ao tempo.
A fórmula geral para a posição em função do tempo é:
Onde:
  • é a posição inicial no tempo .
  • é a função de velocidade.
  • é o tempo final para o qual queremos encontrar a posição.

Passo 3

No nosso caso, sabemos que no instante , a posição . A velocidade é dada por . Vamos substituir esses valores na fórmula:
Aqui, substituímos por dentro da integral para evitar confusão com os limites de integração.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
Vamos resolver cada parte separadamente:
Somando as duas partes:

Passo 5

Agora que calculamos a integral, vamos voltar à fórmula da posição:

Resposta

A posição da partícula no instante é .

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