Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com velocidade
. Sabendo-se que, no instante
, a partícula encontra-se na posição
, determine a posição da partícula no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo do eixo
com uma velocidade dada por
. Sabemos que no instante
, a posição da partícula é
. Queremos descobrir qual será a posição da partícula no instante
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente a relação entre posição, velocidade e tempo. Vamos utilizar a integração para encontrar a posição a partir da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que, para encontrar a posição a partir da velocidade, precisamos integrar a função de velocidade em relação ao tempo.
A fórmula geral para a posição
em função do tempo é:
Onde:
-
é a posição inicial no tempo . -
é a função de velocidade. -
é o tempo final para o qual queremos encontrar a posição.
Passo 3
No nosso caso, sabemos que no instante
, a posição
. A velocidade é dada por
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Aqui, substituímos
por
dentro da integral para evitar confusão com os limites de integração.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral:
Vamos resolver cada parte separadamente:
Somando as duas partes:
Passo 5
Agora que calculamos a integral, vamos voltar à fórmula da posição:
Resposta
A posição da partícula no instante
é
.
Exercícios relacionados
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Utilizando esta definição e considerando as unidades das grandezas no Sistema Internacional obtenha a velocidade do móvel no instante
segundos.
O movimento horizontal de um móvel é descrito pela equação horária,
O movimento horizontal de um móvel é descrito pela equação horária,
A sua velocidade (instantânea) no instante
é definida pelo limite à seguir,
Mostre que a função
não é diferenciável em
.
Nos problemas de 1 a 10, classifique as equações diferenciais dizendo se são lineares ou não lineares. Dê também a ordem de cada equação: