Mostre que a função de onda
não satisfaz a equação de Schroedinger dependente do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de onda dada por
. A tarefa é mostrar que essa função não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a equação de Schrödinger e como ela relaciona a função de onda, suas derivadas no tempo e no espaço. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo. Ela é dada por:
Aqui,
é a unidade imaginária,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é o potencial, e
é a função de onda que a gente tem.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias da função de onda
. Primeiro, a derivada parcial em relação ao tempo:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação ao espaço:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de Schrödinger:
Simplificando:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para isolar o potencial
:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 7
Aqui vemos que o potencial
está igualado a um termo que envolve a unidade imaginária
. No contexto da física quântica, o potencial
deve ser uma quantidade real, pois representa uma energia física real e observável.
Passo 8
Como o lado direito da equação resultou em um termo imaginário
, isso indica que nossa função de onda
não é compatível com uma equação de energia real em um potencial físico real.
Resposta
Portanto, a função de onda
não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, já que resulta em um potencial imaginário, o que não é fisicamente válido.
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