Mostre que a função de onda não satisfaz a equação de Schroedinger dependente do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de onda dada por . A tarefa é mostrar que essa função não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a equação de Schrödinger e como ela relaciona a função de onda, suas derivadas no tempo e no espaço. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo. Ela é dada por:
Aqui, é a unidade imaginária, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é o potencial, e é a função de onda que a gente tem.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias da função de onda . Primeiro, a derivada parcial em relação ao tempo:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação ao espaço:

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de Schrödinger:
Simplificando:

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para isolar o potencial :
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):

Passo 7

Aqui vemos que o potencial está igualado a um termo que envolve a unidade imaginária . No contexto da física quântica, o potencial deve ser uma quantidade real, pois representa uma energia física real e observável.

Passo 8

Como o lado direito da equação resultou em um termo imaginário , isso indica que nossa função de onda não é compatível com uma equação de energia real em um potencial físico real.

Resposta

Portanto, a função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, já que resulta em um potencial imaginário, o que não é fisicamente válido.

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