Mostre que a função de onda psi(x, t)=Aexp(k x- w t) não satisfaz a equação de Schroedinger dependente do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de onda dada por psi(x, t) = A exp(k x - omega t). A tarefa é mostrar que essa função não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a equação de Schrödinger e como ela relaciona a função de onda, suas derivadas no tempo e no espaço. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo. Ela é dada por:
ihbar partial psipartial t = -hbar^22m partial^2 psipartial x^2 + V(x)psi
Aqui, i é a unidade imaginária, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, V(x) é o potencial, e psi(x,t) é a função de onda que a gente tem.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias da função de onda psi(x, t) = A exp(k x - omega t). Primeiro, a derivada parcial em relação ao tempo:
partial psipartial t = -omega A exp(k x - omega t) = -omega psi

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação ao espaço:
partial psipartial x = k A exp(k x - omega t) = k psi
partial^2 psipartial x^2 = k^2 A exp(k x - omega t) = k^2 psi

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de Schrödinger:
ihbar (-omega psi) = -hbar^22m (k^2 psi) + V(x)psi
Simplificando:
- ihbar omega psi = -hbar^2 k^22m psi + V(x)psi

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para isolar o potencial V(x):
V(x)psi = -ihbar omega psi + hbar^2 k^22m psi
Dividindo ambos os lados por psi (assumindo psi neq 0):
V(x) = -ihbar omega + hbar^2 k^22m

Passo 7

Aqui vemos que o potencial V(x) está igualado a um termo que envolve a unidade imaginária i. No contexto da física quântica, o potencial V(x) deve ser uma quantidade real, pois representa uma energia física real e observável.

Passo 8

Como o lado direito da equação resultou em um termo imaginário -ihbar omega, isso indica que nossa função de onda psi(x, t) = A exp(k x - omega t) não é compatível com uma equação de energia real em um potencial físico real.

Resposta

Portanto, a função de onda psi(x, t) = A exp(k x - omega t) não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, já que resulta em um potencial imaginário, o que não é fisicamente válido.

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