Um oscilador harmônico se move num potencial
, onde
é uma constante. Encontrar os autovalores de energia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um oscilador harmônico que está se movendo num potencial dado por
. Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores de energia desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica Quântica, mais especificamente sobre o oscilador harmônico quântico e como lidar com potenciais modificados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é esse potencial
. O termo
é o típico potencial de um oscilador harmônico, onde
é a constante elástica. O segundo termo,
, adiciona uma força constante ao sistema, deslocando o equilíbrio do oscilador.
Para simplificar, vamos completar o quadrado no potencial:
Agora, completando o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta no
:
Isso mostra que o potencial é basicamente um oscilador harmônico deslocado em
por
e com uma energia fixa de
.
Passo 3
Agora, sabemos que para o oscilador harmônico quântico padrão, os autovalores de energia são dados por:
onde
é a frequência angular e
são os números quânticos.
No nosso caso, como o potencial foi deslocado, a energia total do sistema será a energia do oscilador deslocado mais a energia fixa adicionada pelo termo
. Assim, os autovalores de energia passam a ser:
Resposta
Os autovalores de energia são dados por