Um oscilador harmônico se move num potencial V(x)=(1 / 2) k x^2+c x, onde c é uma constante. Encontrar os autovalores de energia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um oscilador harmônico que está se movendo num potencial dado por . Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores de energia desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica Quântica, mais especificamente sobre o oscilador harmônico quântico e como lidar com potenciais modificados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é esse potencial V(x) = 12 k x^2 + c x = 12 k ( x^2 + 2ck x ) . O termo x^2 + 2ck x = ( x + ck )^2 - ( ck )^2 é o típico potencial de um oscilador harmônico, onde V(x) = 12 k [ ( x + ck )^2 - ( ck )^2 ] = 12 k ( x + ck )^2 - c^22k é a constante elástica. O segundo termo, , adiciona uma força constante ao sistema, deslocando o equilíbrio do oscilador.
Para simplificar, vamos completar o quadrado no potencial:
Agora, completando o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta no :
Isso mostra que o potencial é basicamente um oscilador harmônico deslocado em por e com uma energia fixa de .

Passo 3

Agora, sabemos que para o oscilador harmônico quântico padrão, os autovalores de energia são dados por:
En = hbar omega ( n + 12 )
onde En = hbar omega ( n + 12 ) - c^22k é a frequência angular e são os números quânticos.
No nosso caso, como o potencial foi deslocado, a energia total do sistema será a energia do oscilador deslocado mais a energia fixa adicionada pelo termo . Assim, os autovalores de energia passam a ser:

Resposta

Os autovalores de energia são dados por
En = hbar raizkm ( n + 12 ) - c^22k, com n = 0, 1, 2, ldots

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