Mostre que a função de onda Psi(x, t)=A e^(k x-a t) não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger, que é fundamental na mecânica quântica para descrever como a função de onda de uma partícula muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo. Ela é dada por:
i hbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 + V(x) Psi
Aqui:
  • é a unidade imaginária,
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é a massa da partícula,
  • é o potencial no qual a partícula está,
  • é a função de onda que queremos testar.

Passo 3

Para ver se partial Psipartial t = partialpartial t ( A e^(k x - a t) ) = -a A e^(k x - a t) = -a Psi satisfaz essa equação, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, a derivada em relação ao tempo :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial Psipartial x = partialpartial x ( A e^(k x - a t) ) = k A e^(k x - a t) = k Psi em relação a partial^2 Psipartial x^2 = partialpartial x ( k Psi ) = k partial Psipartial x = k^2 Psi :
E a segunda derivada:

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de Schrödinger:
i hbar (-a Psi) = -hbar^22m (k^2 Psi) + V(x) Psi
Simplificando:
- i hbar a Psi = -hbar^2 k^22m Psi + V(x) Psi

Passo 6

Para que - i hbar a = -hbar^2 k^22m + V(x) satisfaça a equação, os dois lados da equação devem ser iguais. Vamos rearranjar a equação:
V(x) = - i hbar a + hbar^2 k^22m
Isso implica que o potencial deveria ser:

Passo 7

Observamos que resultou ser uma constante complexa ( ) mais uma constante real. No contexto da mecânica quântica, o potencial deve ser real para garantir que a energia seja uma quantidade física real e o sistema seja conservativo.

Passo 8

Como o potencial veio com uma parte imaginária, isso não faz sentido fisicamente. Portanto, a função de onda não pode satisfazer a equação de Schrödinger dependente do tempo com um potencial real.

Resposta

A função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo porque o potencial resultante seria complexo, o que não é fisicamente válido.

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