Mostre que a função de onda
não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função de onda
não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger, que é fundamental na mecânica quântica para descrever como a função de onda de uma partícula muda com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo. Ela é dada por:
Aqui:
-
é a unidade imaginária, -
é a constante de Planck reduzida, -
é a massa da partícula, -
é o potencial no qual a partícula está, -
é a função de onda que queremos testar.
Passo 3
Para ver se
satisfaz essa equação, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, a derivada em relação ao tempo
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
E a segunda derivada:
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de Schrödinger:
Simplificando:
Passo 6
Para que
satisfaça a equação, os dois lados da equação devem ser iguais. Vamos rearranjar a equação:
Isso implica que o potencial
deveria ser:
Passo 7
Observamos que
resultou ser uma constante complexa (
) mais uma constante real. No contexto da mecânica quântica, o potencial
deve ser real para garantir que a energia seja uma quantidade física real e o sistema seja conservativo.
Passo 8
Como o potencial
veio com uma parte imaginária, isso não faz sentido fisicamente. Portanto, a função de onda
não pode satisfazer a equação de Schrödinger dependente do tempo com um potencial real.
Resposta
A função de onda
não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo porque o potencial resultante seria complexo, o que não é fisicamente válido.