Normalize a função de onda do exercício 3 , determinando qual o valor da constante arbitrária A nesta função de onda que faz com que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer ponto do eixo seja um.
Psi(x, t)=A e^-(raizC m / 2 hbar) x^2 e^-(i / 2) raizC / m t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para normalizar uma função de onda, ou seja, encontrar o valor da constante que faz com que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer ponto do eixo seja igual a um. Estamos trabalhando com Mecânica Quântica, especificamente com a normalização de funções de onda. Para resolver isso, vamos precisar calcular a integral do módulo ao quadrado da função de onda e igualar a um.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma função de onda. Normalizar significa ajustar a função para que a integral de sobre todo o espaço seja igual a 1. Isto garante que a partícula existe em algum lugar no espaço.

Passo 3

Vamos começar calculando o módulo ao quadrado da função de onda dada:
|Psi(x, t)|^2 = Psi(x, t) cdot Psi^*(x, t)
Onde é o complexo conjugado de .

Passo 4

Calculando o complexo conjugado:
Psi^*(x, t) = A e^-(raizC m / 2 hbar) x^2 e^(i / 2) raizC / m t
Multiplicando |Psi(x, t)|^2 = A^2 e^-(raizC m / hbar) x^2 e^0 = A^2 e^-(raizC m / hbar) x^2 por :
Observe que os termos complexos se cancelam.

Passo 5

Agora, vamos integrar integral-infty^infty A^2 e^-(raizC m / hbar) x^2 dx = 1 sobre todo o eixo e igualar a 1:

Passo 6

Essa integral é uma forma da integral gaussiana, que sabemos que:
integral-infty^infty e^-a x^2 dx = raizpia
Aqui, .

Passo 7

Aplicando isso na nossa integral:
A^2 raizpiraizC m / hbar = 1
Simplificando:
A^2 raizpi hbarraizC m = 1

Passo 8

Resolvendo para A^2 = 1raizpi hbar / raizC m = 1raizpi (hbar)^1/2 (C m)^-1/4 :

Passo 9

Finalmente, extraindo A = ( raizC mpi hbar )^1/4 :

Resposta

O valor da constante A = ( raizC mpi hbar )^1/4 que normaliza a função de onda é:

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