Normalize a função de onda do exercício 3 , determinando qual o valor da constante arbitrária
nesta função de onda que faz com que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer ponto do eixo seja um.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para normalizar uma função de onda, ou seja, encontrar o valor da constante
que faz com que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer ponto do eixo seja igual a um. Estamos trabalhando com Mecânica Quântica, especificamente com a normalização de funções de onda. Para resolver isso, vamos precisar calcular a integral do módulo ao quadrado da função de onda e igualar a um.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma função de onda. Normalizar significa ajustar a função para que a integral de
sobre todo o espaço seja igual a 1. Isto garante que a partícula existe em algum lugar no espaço.
Passo 3
Vamos começar calculando o módulo ao quadrado da função de onda dada:
Onde
é o complexo conjugado de
.
Passo 4
Calculando o complexo conjugado:
Multiplicando
por
:
Observe que os termos complexos se cancelam.
Passo 5
Agora, vamos integrar
sobre todo o eixo
e igualar a 1:
Passo 6
Essa integral é uma forma da integral gaussiana, que sabemos que:
Aqui,
.
Passo 7
Aplicando isso na nossa integral:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Finalmente, extraindo
:
Resposta
O valor da constante
que normaliza a função de onda é: