Uma partícula de massa e energia total zero se encontra em uma região do espaço na qual a função de onda é , (a) Determine a energia potencial da partícula em função de ; (b) faça um gráfico de em função de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física quântica juntos! A gente tem uma partícula com massa e energia total zero, e a função de onda dela é . Nosso objetivo é encontrar a energia potencial em função de e depois fazer um gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger, que relaciona a energia total, a energia cinética e a energia potencial de uma partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de Schrödinger para uma dimensão:
onde é o operador hamiltoniano, é a energia total da partícula, e é a função de onda.

Passo 3

O operador hamiltoniano para uma partícula em uma dimensão é dado por:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é a energia potencial que queremos encontrar.

Passo 4

Sabemos que a energia total é zero. Então, colocando isso na equação de Schrödinger:
Podemos rearranjar para isolar :

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada da função de onda .
Primeiro, a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:

Passo 6

Agora, vamos substituir a segunda derivada e na expressão para :
Simplificando:

Resposta

A energia potencial da partícula em função de é:
Para o gráfico de versus , você terá uma parábola voltada para cima devido ao termo , deslocada verticalmente por .

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Resp.: a) $\quad T=2 \pi \sqrt{\frac{2 \mathrm{~L}}{3 \mathrm{~g}}} \quad ; b) \quad L_{e q}=\frac{2 \mathrm{~L}}{3} \quad ; c) \quad T=2 \pi \sqrt{\frac{2 \mathrm{~L}}{3 \mathrm{~g}}} .
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