Uma partícula de massa
e energia total zero se encontra em uma região do espaço na qual a função de onda é
, (a) Determine a energia potencial
da partícula em função de
; (b) faça um gráfico de
em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física quântica juntos! A gente tem uma partícula com massa
e energia total zero, e a função de onda dela é
. Nosso objetivo é encontrar a energia potencial
em função de
e depois fazer um gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger, que relaciona a energia total, a energia cinética e a energia potencial de uma partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de Schrödinger para uma dimensão:
onde
é o operador hamiltoniano,
é a energia total da partícula, e
é a função de onda.
Passo 3
O operador hamiltoniano
para uma partícula em uma dimensão é dado por:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula, e
é a energia potencial que queremos encontrar.
Passo 4
Sabemos que a energia total
é zero. Então, colocando isso na equação de Schrödinger:
Podemos rearranjar para isolar
:
Passo 5
Vamos calcular a segunda derivada da função de onda
.
Primeiro, a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Passo 6
Agora, vamos substituir a segunda derivada e
na expressão para
:
Simplificando:
Resposta
A energia potencial da partícula em função de
é:
Para o gráfico de
versus
, você terá uma parábola voltada para cima devido ao termo
, deslocada verticalmente por
.
Exercícios relacionados
Mostre que a função de onda
não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Resp.: a) $\quad T=2 \pi \sqrt{\frac{2 \mathrm{~L}}{3 \mathrm{~g}}} \quad ; b) \quad L_{e q}=\frac{2 \mathrm{~L}}{3} \quad ; c) \quad T=2 \pi \sqrt{\frac{2 \mathrm{~L}}{3 \mathrm{~g}}} .
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