Uma partícula de massa m e energia total zero se encontra em uma região do espaço na qual a função de onda é Psi(x)=C e^-x^2 L^2, (a) Determine a energia potencial V(x) da partícula em função de x; (b) faça um gráfico de V(x) em função de x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física quântica juntos! A gente tem uma partícula com massa e energia total zero, e a função de onda dela é . Nosso objetivo é encontrar a energia potencial em função de e depois fazer um gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger, que relaciona a energia total, a energia cinética e a energia potencial de uma partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de Schrödinger para uma dimensão:
H Psi(x) = E Psi(x)
onde é o operador hamiltoniano, é a energia total da partícula, e é a função de onda.

Passo 3

O operador hamiltoniano H = -hbar^22m d^2dx^2 + V(x) para uma partícula em uma dimensão é dado por:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é a energia potencial que queremos encontrar.

Passo 4

Sabemos que a energia total -hbar^22m d^2Psidx^2 + V(x) Psi(x) = 0 é zero. Então, colocando isso na equação de Schrödinger:
V(x) = hbar^22m d^2Psidx^2 cdot 1Psi(x)
Podemos rearranjar para isolar :

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada da função de onda dPsidx = -2C L^2 x e^-x^2 L^2 .
Primeiro, a primeira derivada:
d^2Psidx^2 = ddx ( -2C L^2 x e^-x^2 L^2 ) = -2C L^2 e^-x^2 L^2 + 4C L^4 x^2 e^-x^2 L^2
Agora, a segunda derivada:

Passo 6

Agora, vamos substituir a segunda derivada e V(x) = hbar^22m cdot -2C L^2 e^-x^2 L^2 + 4C L^4 x^2 e^-x^2 L^2C e^-x^2 L^2 na expressão para V(x) = hbar^22m (-2 L^2 + 4 L^4 x^2) = -hbar^2 L^2m + 2 hbar^2 L^4m x^2 :
Simplificando:

Resposta

A energia potencial da partícula em função de V(x) = 2 hbar^2 L^4m x^2 - hbar^2 L^2m é:
Para o gráfico de versus , você terá uma parábola voltada para cima devido ao termo , deslocada verticalmente por .

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