Mostre que a função de onda zenital para
, é solução da equação para
do átomo de hidrogênio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para demonstrar que a função de onda zenital para
, dada por
, é uma solução da equação para
no átomo de hidrogênio.
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as equações angulares na mecânica quântica, especialmente as funções esféricas harmônicas que descrevem a parte angular das funções de onda dos elétrons no átomo de hidrogênio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que, no átomo de hidrogênio, a função de onda do elétron pode ser separada em partes radial e angular. A parte angular é descrita pelas Funções Esféricas Harmônicas
, que dependem dos números quânticos
e
.
No nosso caso, temos
e
. A função
corresponde à parte angular da função esférica harmônica, e para
, ela depende apenas de
.
Passo 3
A equação angular que
deve satisfazer é conhecida como a Equação de Legendre Associada:
Como
, a equação simplifica para:
Passo 4
Vamos agora substituir
e
na equação acima e verificar se ela é satisfeita.
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Agora, substituímos
e suas derivadas na equação de Legendre associada:
Simplificando:
Calculando a derivada dentro do parênteses:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Distribuindo os termos:
Combinando termos semelhantes:
Usando a identidade trigonométrica
:
Resposta
A função de onda zenital
satisfaz a equação de Legendre associada para o átomo de hidrogênio com
e
, confirmando que é uma solução válida.
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