Mostre que a função de onda zenital para n=3, Theta20(theta)=raiz10 / 4(3 cos ^2 theta-1), é solução da equação para Thetalm((theta) do átomo de hidrogênio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para demonstrar que a função de onda zenital para , dada por , é uma solução da equação para no átomo de hidrogênio.
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as equações angulares na mecânica quântica, especialmente as funções esféricas harmônicas que descrevem a parte angular das funções de onda dos elétrons no átomo de hidrogênio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que, no átomo de hidrogênio, a função de onda do elétron pode ser separada em partes radial e angular. A parte angular é descrita pelas Funções Esféricas Harmônicas , que dependem dos números quânticos e .
No nosso caso, temos e . A função corresponde à parte angular da função esférica harmônica, e para , ela depende apenas de .

Passo 3

A equação angular que 1sin theta ddtheta ( sin theta dThetalmdtheta ) + [ l(l+1) - m^2sin^2 theta ] Thetalm = 0 deve satisfazer é conhecida como a Equação de Legendre Associada:
1sin theta ddtheta ( sin theta dThetal0dtheta ) + l(l+1) Thetal0 = 0
Como , a equação simplifica para:

Passo 4

Vamos agora substituir Theta20(theta) = raiz104 (3 cos^2 theta - 1) e dTheta20dtheta = raiz104 cdot 6 cos theta (-sin theta) = -3raiz102 cos theta sin theta na equação acima e verificar se ela é satisfeita.
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias de d^2Theta20dtheta^2 = -3raiz102 ( cos^2 theta - sin^2 theta ) :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Agora, substituímos 1sin theta ddtheta ( sin theta cdot ( -3raiz102 cos theta sin theta ) ) + 2(2+1) cdot raiz104 (3 cos^2 theta - 1) = 0 e suas derivadas na equação de Legendre associada:
1sin theta ddtheta ( -3raiz102 cos theta sin^2 theta ) + 6 cdot raiz104 (3 cos^2 theta - 1) = 0
Simplificando:
ddtheta ( -3raiz102 cos theta sin^2 theta ) = -3raiz102 ( -sin theta sin^2 theta + 2 cos^2 theta sin theta ) = 3raiz102 sin theta ( sin^2 theta - 2 cos^2 theta )
Calculando a derivada dentro do parênteses:
1sin theta cdot 3raiz102 sin theta ( sin^2 theta - 2 cos^2 theta ) + 6raiz104 (3 cos^2 theta - 1) = 0
Substituindo de volta:
3raiz102 ( sin^2 theta - 2 cos^2 theta ) + 3raiz102 (3 cos^2 theta - 1 ) = 0
Simplificando:
3raiz102 sin^2 theta - 3raiz10 cos^2 theta + 9raiz102 cos^2 theta - 3raiz102 = 0
Distribuindo os termos:
3raiz102 sin^2 theta + 3raiz102 cos^2 theta - 3raiz102 = 0
Combinando termos semelhantes:
3raiz102 (1) - 3raiz102 = 0
Usando a identidade trigonométrica 0 = 0 :

Resposta

A função de onda zenital satisfaz a equação de Legendre associada para o átomo de hidrogênio com e , confirmando que é uma solução válida.

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