Mostre que a função de onda zenital para , é solução da equação para do átomo de hidrogênio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para demonstrar que a função de onda zenital para , dada por , é uma solução da equação para no átomo de hidrogênio.
Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as equações angulares na mecânica quântica, especialmente as funções esféricas harmônicas que descrevem a parte angular das funções de onda dos elétrons no átomo de hidrogênio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que, no átomo de hidrogênio, a função de onda do elétron pode ser separada em partes radial e angular. A parte angular é descrita pelas Funções Esféricas Harmônicas , que dependem dos números quânticos e .
No nosso caso, temos e . A função corresponde à parte angular da função esférica harmônica, e para , ela depende apenas de .

Passo 3

A equação angular que deve satisfazer é conhecida como a Equação de Legendre Associada:
Como , a equação simplifica para:

Passo 4

Vamos agora substituir e na equação acima e verificar se ela é satisfeita.
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Agora, substituímos e suas derivadas na equação de Legendre associada:
Simplificando:
Calculando a derivada dentro do parênteses:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Distribuindo os termos:
Combinando termos semelhantes:
Usando a identidade trigonométrica :

Resposta

A função de onda zenital satisfaz a equação de Legendre associada para o átomo de hidrogênio com e , confirmando que é uma solução válida.

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