A parte radial da função de onda para o átomo de hidrogênio no estado
é
(a) Calcule o valor médio de
nesse estado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor médio de
no estado
do átomo de hidrogênio. Isso está relacionado à mecânica quântica, especificamente ao cálculo de valores esperados usando a função de onda. Para resolver, vamos precisar usar integrais envolvendo a função radial
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o valor médio de
. Em mecânica quântica, o valor esperado
é a média ponderada de todas as posições possíveis de
, dado pela função de onda. Matematicamente, é calculado usando a integral:
Aqui,
é a função de onda completa, mas como estamos lidando apenas com a parte radial
, podemos simplificar para:
Passo 3
Vamos substituir a função radial
na expressão do valor médio:
Como
é uma constante real, o módulo ao quadrado fica:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Sabemos que a função de onda deve ser normalizada, ou seja:
Substituindo
:
A integral
é uma integral de gama e vale
. Então, para
:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos
, vamos voltar à expressão do valor médio:
Usando novamente a fórmula da integral de gama para
:
Substituindo
:
Resposta
O valor médio de
no estado
é
.