A parte radial da função de onda para o átomo de hidrogênio no estado 2 p é
R21(r)=A r e^-r / 2 a0
(a) Calcule o valor médio de r nesse estado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor médio de no estado do átomo de hidrogênio. Isso está relacionado à mecânica quântica, especificamente ao cálculo de valores esperados usando a função de onda. Para resolver, vamos precisar usar integrais envolvendo a função radial .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o valor médio de lang<= r rang<= = integral0^infty r cdot |Psi(r)|^2 cdot 4pi r^2 dr . Em mecânica quântica, o valor esperado lang<= r rang<= = integral0^infty r cdot |R21(r)|^2 cdot r^2 dr é a média ponderada de todas as posições possíveis de , dado pela função de onda. Matematicamente, é calculado usando a integral:
Aqui, é a função de onda completa, mas como estamos lidando apenas com a parte radial , podemos simplificar para:

Passo 3

Vamos substituir a função radial lang<= r rang<= = integral0^infty r cdot |A r e^-r / 2 a0|^2 cdot r^2 dr na expressão do valor médio:
|A r e^-r / 2 a0|^2 = A^2 r^2 e^-r / a0
Como lang<= r rang<= = A^2 integral0^infty r cdot r^2 e^-r / a0 cdot r^2 dr = A^2 integral0^infty r^5 e^-r / a0 dr é uma constante real, o módulo ao quadrado fica:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de integral0^infty |R21(r)|^2 cdot r^2 dr = 1 . Sabemos que a função de onda deve ser normalizada, ou seja:
A^2 integral0^infty r^2 e^-r / a0 cdot r^2 dr = 1 Rightarrow A^2 integral0^infty r^4 e^-r / a0 dr = 1
Substituindo integral0^infty r^4 e^-r / a0 dr = 4! cdot a0^5 = 24 a0^5 :
A^2 cdot 24 a0^5 = 1 Rightarrow A^2 = 124 a0^5 Rightarrow A = 1raiz24 a0^5/2
A integral é uma integral de gama e vale . Então, para :
Portanto:

Passo 5

Agora que temos lang<= r rang<= = A^2 integral0^infty r^5 e^-r / a0 dr , vamos voltar à expressão do valor médio:
integral0^infty r^5 e^-r / a0 dr = 5! cdot a0^6 = 120 a0^6
Usando novamente a fórmula da integral de gama para lang<= r rang<= = 124 a0^5 cdot 120 a0^6 = 5 a0 :
Substituindo :

Resposta

O valor médio de no estado é .

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