A parte radial da função de onda para o átomo de hidrogênio no estado é
(a) Calcule o valor médio de nesse estado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor médio de no estado do átomo de hidrogênio. Isso está relacionado à mecânica quântica, especificamente ao cálculo de valores esperados usando a função de onda. Para resolver, vamos precisar usar integrais envolvendo a função radial .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o valor médio de . Em mecânica quântica, o valor esperado é a média ponderada de todas as posições possíveis de , dado pela função de onda. Matematicamente, é calculado usando a integral:
Aqui, é a função de onda completa, mas como estamos lidando apenas com a parte radial , podemos simplificar para:

Passo 3

Vamos substituir a função radial na expressão do valor médio:
Como é uma constante real, o módulo ao quadrado fica:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de . Sabemos que a função de onda deve ser normalizada, ou seja:
Substituindo :
A integral é uma integral de gama e vale . Então, para :
Portanto:

Passo 5

Agora que temos , vamos voltar à expressão do valor médio:
Usando novamente a fórmula da integral de gama para :
Substituindo :

Resposta

O valor médio de no estado é .

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