Mostre que a função T(x, y)=(-x,-y) é linear. Descreva geometricamente o que a transformação executa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa mostrar que ela é linear. Além disso, queremos entender o que essa transformação faz geometricamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e operações vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e , e qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar se essas propriedades são atendidas pela função .

Passo 3

Vamos testar a primeira propriedade: adição de vetores.
Sejam T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (-(x1 + x2), -(y1 + y2)) = (-x1 - x2, -y1 - y2) e T(u) + T(v) = (-x1, -y1) + (-x2, -y2) = (-x1 - x2, -y1 - y2) .
Calculando :
Agora, calculando :
Como , a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos testar a segunda propriedade: multiplicação por escalar.
Seja T(cu) = T(cx, cy) = (-cx, -cy) = c(-x, -y) um escalar e cT(u) = c(-x, -y) = (-cx, -cy) .
Calculando :
E :
Assim, , mostrando que a segunda propriedade também é satisfeita.

Passo 5

Como verificamos que ambas as propriedades de linearidade são satisfeitas, podemos concluir que é uma transformação linear.

Passo 6

Agora, vamos descrever geometricamente o que essa transformação faz. A função pega qualquer ponto e o mapeia para . Geometricamente, isso equivale a:
  • Reflexão pela origem: Cada ponto é refletido passando pela origem (ponto (0,0)). Isso é como girar o ponto em 180 graus ao redor da origem.
Você pode imaginar isso como se estivesse virando o plano cartesianamente para o lado oposto, invertendo ambas as coordenadas.

Resposta

A função é linear, pois satisfaz as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar. Geometricamente, essa transformação reflete qualquer ponto pela origem, invertendo suas coordenadas.

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