Mostre que a função
é linear. Descreva geometricamente o que a transformação executa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa mostrar que ela é linear. Além disso, queremos entender o que essa transformação faz geometricamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e operações vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
, e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar se essas propriedades são atendidas pela função
.
Passo 3
Vamos testar a primeira propriedade: adição de vetores.
Sejam
e
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
, a primeira propriedade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos testar a segunda propriedade: multiplicação por escalar.
Seja
um escalar e
.
Calculando
:
E
:
Assim,
, mostrando que a segunda propriedade também é satisfeita.
Passo 5
Como verificamos que ambas as propriedades de linearidade são satisfeitas, podemos concluir que
é uma transformação linear.
Passo 6
Agora, vamos descrever geometricamente o que essa transformação faz. A função
pega qualquer ponto
e o mapeia para
. Geometricamente, isso equivale a:
- Reflexão pela origem: Cada ponto é refletido passando pela origem (ponto (0,0)). Isso é como girar o ponto em 180 graus ao redor da origem.
Você pode imaginar isso como se estivesse virando o plano cartesianamente para o lado oposto, invertendo ambas as coordenadas.
Resposta
A função
é linear, pois satisfaz as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar. Geometricamente, essa transformação reflete qualquer ponto pela origem, invertendo suas coordenadas.