Sejam
e
aplicações lineraes de
em
.
(a) Mostre que
é uma transformação linear de
em
.
(b) Dado
, mostre que
é uma transformação linear de
em
.
(a) Mostre que
(b) Dado
Passo 1
Então, temos duas transformações lineares
e
que mapeiam um espaço vetorial
para outro espaço
. O enunciado pede para a gente mostrar que a soma dessas duas transformações,
, também é uma transformação linear. Além disso, no item (b), precisamos mostrar que se multiplicarmos uma dessas transformações por um escalar
, o resultado
também será uma transformação linear. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares e como elas se comportam com soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes condições são satisfeitas:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Essas propriedades garantem que a transformação respeita a estrutura linear dos espaços vetoriais.
Passo 3
Vamos começar com o item (a): mostrar que
é uma transformação linear. A transformação
é definida pela soma das duas transformações, isto é, para qualquer vetor
,
Precisamos verificar se
satisfaz as duas propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade.
Passo 4
Primeiro, verificamos a aditividade para
. Tomando dois vetores
,
Como
e
são lineares, sabemos que:
Substituindo de volta:
Portanto, a aditividade é satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos verificar a homogeneidade para
. Para um vetor
e um escalar
,
Novamente, usando a linearidade de
e
:
Substituindo de volta:
Assim, a homogeneidade também é satisfeita.
Passo 6
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é realmente uma transformação linear de
em
.
Passo 7
Agora, vamos para o item (b): mostrar que
é uma transformação linear, onde
é um escalar real. A transformação
é definida por:
Novamente, precisamos verificar as duas propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade.
Passo 8
Primeiro, verificamos a aditividade para
. Para dois vetores
,
Como
é linear:
Portanto:
A aditividade é satisfeita.
Passo 9
Agora, vamos verificar a homogeneidade para
. Para um vetor
e um escalar
,
Usando a linearidade de
:
Substituindo de volta:
Portanto, a homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Tanto
quanto
são transformações lineares de
em
, conforme demonstrado acima.