Sejam S e T aplicações lineraes de V em W.
(a) Mostre que S+T é uma transformação linear de V em W.
(b) Dado alpha in R, mostre que alpha T é uma transformação linear de V em W.

Passo 1

Então, temos duas transformações lineares e que mapeiam um espaço vetorial para outro espaço . O enunciado pede para a gente mostrar que a soma dessas duas transformações, , também é uma transformação linear. Além disso, no item (b), precisamos mostrar que se multiplicarmos uma dessas transformações por um escalar , o resultado também será uma transformação linear. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das transformações lineares e como elas se comportam com soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes condições são satisfeitas:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Essas propriedades garantem que a transformação respeita a estrutura linear dos espaços vetoriais.

Passo 3

Vamos começar com o item (a): mostrar que (S + T)(v) = S(v) + T(v) é uma transformação linear. A transformação é definida pela soma das duas transformações, isto é, para qualquer vetor ,
Precisamos verificar se satisfaz as duas propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 4

Primeiro, verificamos a aditividade para (S + T)(u + v) = S(u + v) + T(u + v) . Tomando dois vetores S(u + v) = S(u) + S(v) ,
T(u + v) = T(u) + T(v)
Como (S + T)(u + v) = (S(u) + S(v)) + (T(u) + T(v)) = (S(u) + T(u)) + (S(v) + T(v)) = (S + T)(u) + (S + T)(v) e são lineares, sabemos que:
Substituindo de volta:
Portanto, a aditividade é satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos verificar a homogeneidade para (S + T)(cv) = S(cv) + T(cv) . Para um vetor S(cv) = cS(v) e um escalar T(cv) = cT(v) ,
(S + T)(cv) = cS(v) + cT(v) = c(S(v) + T(v)) = c(S + T)(v)
Novamente, usando a linearidade de e :
Substituindo de volta:
Assim, a homogeneidade também é satisfeita.

Passo 6

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é realmente uma transformação linear de em .

Passo 7

Agora, vamos para o item (b): mostrar que (alpha T)(v) = alpha (T(v)) é uma transformação linear, onde é um escalar real. A transformação é definida por:
Novamente, precisamos verificar as duas propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 8

Primeiro, verificamos a aditividade para (alpha T)(u + v) = alpha T(u + v) . Para dois vetores T(u + v) = T(u) + T(v) ,
(alpha T)(u + v) = alpha (T(u) + T(v)) = alpha T(u) + alpha T(v) = (alpha T)(u) + (alpha T)(v)
Como é linear:
Portanto:
A aditividade é satisfeita.

Passo 9

Agora, vamos verificar a homogeneidade para (alpha T)(cv) = alpha T(cv) . Para um vetor T(cv) = cT(v) e um escalar (alpha T)(cv) = alpha (cT(v)) = c (alpha T(v)) = c (alpha T)(v) ,
Usando a linearidade de :
Substituindo de volta:
Portanto, a homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Tanto quanto são transformações lineares de em , conforme demonstrado acima.

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