Mostre que a função T(x, y)=(x / 2, y / 2) é linear. Descreva geometricamente o que a transformação executa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a função é linear. Estamos trabalhando com transformações lineares, um conceito de álgebra linear. Para provar que uma função é linear, precisamos verificar se ela preserva as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se T(u + v) = T(u) + T(v) preserva a adição de vetores. Isso significa que para quaisquer vetores u + v = (u1 + v1, u2 + v2) e T(u + v) = ( u1 + v12, u2 + v22 ) , a função deve satisfazer:
T(u) + T(v) = ( u12, u22 ) + ( v12, v22 ) = ( u1 + v12, u2 + v22 )
Calculando cada lado:
Como , a função preserva a adição.

Passo 3

Agora, vamos verificar se T(c u) = c T(u) preserva a multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer vetor c u = (c u1, c u2) e qualquer escalar T(c u) = ( c u12, c u22 ) = c ( u12, u22 ) = c T(u) , deve ser:
Calculando cada lado:
Assim, , mostrando que a função preserva a multiplicação por escalar.

Passo 4

Como a função preserva tanto a adição de vetores quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que é uma transformação linear.

Passo 5

Geometricamente, a transformação reduz o tamanho de qualquer vetor pela metade. Isso significa que cada ponto no plano é movido para o ponto que está a metade da distância em relação à origem. É como dar um zoom out, diminuindo o tamanho de todas as figuras pela metade, mantendo suas formas e direções.

Resposta

A função é linear e, geometricamente, reduz o tamanho de qualquer vetor pela metade, movendo cada ponto para a metade da distância em relação à origem.

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