Mostre que a função
é linear. Descreva geometricamente o que a transformação executa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a função
é linear. Estamos trabalhando com transformações lineares, um conceito de álgebra linear. Para provar que uma função é linear, precisamos verificar se ela preserva as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
preserva a adição de vetores. Isso significa que para quaisquer vetores
e
, a função deve satisfazer:
Calculando cada lado:
Como
, a função preserva a adição.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
preserva a multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer vetor
e qualquer escalar
, deve ser:
Calculando cada lado:
Assim,
, mostrando que a função preserva a multiplicação por escalar.
Passo 4
Como a função
preserva tanto a adição de vetores quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que
é uma transformação linear.
Passo 5
Geometricamente, a transformação
reduz o tamanho de qualquer vetor pela metade. Isso significa que cada ponto no plano é movido para o ponto que está a metade da distância em relação à origem. É como dar um zoom out, diminuindo o tamanho de todas as figuras pela metade, mantendo suas formas e direções.
Resposta
A função
é linear e, geometricamente, reduz o tamanho de qualquer vetor pela metade, movendo cada ponto para a metade da distância em relação à origem.