Explique como calcular a distância entre duas retas paralelas. E se as retas forem reversas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que quer entender como calcular a distância entre duas retas paralelas e também se as retas forem reversas. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, que estuda formas e suas propriedades usando coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas que usamos para encontrar a distância entre retas e como identificar se as retas são paralelas ou reversas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre retas paralelas. Duas retas são paralelas quando nunca se encontram, ou seja, têm a mesma inclinação. Para calcular a distância entre elas, usamos uma fórmula que depende das equações das retas. Suponha que temos duas retas na forma geral:
L1: Ax + By + C1 = 0
L2: Ax + By + C2 = 0
A distância d = |C2 - C1|raizA^2 + B^2 entre elas é dada por:
Aqui, é o valor absoluto da diferença entre os termos constantes das equações das retas, e é a norma do vetor normal às retas.

Passo 3

Agora, se as retas forem reversas (ou seja, não forem paralelas e não se interceptarem, o que em geometria 3D chamamos de retas skew), o cálculo da distância fica um pouco mais complicado. Para retas skew no espaço tridimensional, a distância mínima entre elas pode ser encontrada usando vetores.
Se temos duas retas parametrizadas por:
L1: r = a + tu
L2: r = b + sv
Onde d = |( b - a ) cdot ( u times v )||u times v| e são pontos nas retas, e e são vetores diretores das retas. A distância entre elas é dada por:
Aqui, é o produto vetorial dos vetores diretores, e representa o produto escalar. Essa fórmula basicamente projeta o vetor que conecta os pontos das retas na direção perpendicular às duas retas.

Resposta

Então, resumindo:
  • Para retas paralelas: A distância entre elas é .
  • Para retas reversas (skew): A distância entre elas é .

Exercícios relacionados