Mostre que a reta r1 que passa pelos pontos A1(-3,4,2) e B1(5,-2,4), e a reta r2, que passa pelos pontos A1(-1,2,-3) e B1(-5,5,-4), são paralelas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional:
  • A reta passa pelos pontos e .
  • A reta passa pelos pontos e .
Queremos mostrar que essas duas retas são paralelas. Para isso, vamos usar o conceito de vetores diretores das retas. Se os vetores diretores forem múltiplos entre si, as retas são paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor de uma reta pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de dois pontos quaisquer dessa reta.
Para v1 = B1 - A1 = (5 - (-3), -2 - 4, 4 - 2) = (8, -6, 2) :
v2 = B2 - A2 = (-5 - (-1), 5 - 2, -4 - (-3)) = (-4, 3, -1)
Para :

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores v1 = k cdot v2 e 8 = k cdot (-4) -6 = k cdot 3 2 = k cdot (-1) , precisamos verificar se um é múltiplo do outro.
Vamos verificar se existe um número tal que:
Isso significa que cada componente de deve ser igual à componente correspondente de multiplicada por :

Passo 4

Vamos resolver para em cada equação:
  1. =>
  2. =>
  3. =>
Em todas as equações, encontramos . Isso mostra que é igual a vezes .

Resposta

Como os vetores diretores e são múltiplos entre si ( ), as retas e são paralelas.

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