Mostre que as funções dadas nos itens (a) e (b) desta tarefa, chamadas de funções harmônicas, são soluções da equação de onda
desde que a relação
seja satisfeita. As constantes
e
são chamadas respectivamente de número de onda e frequência angular.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que certas funções chamadas de funções harmônicas são soluções da equação de onda:
Aqui,
é a velocidade da onda,
é o número de onda, e
é a frequência angular. A relação que precisamos usar é
.
As funções que vamos analisar são:
Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação ao tempo
e ao espaço
, e verificar se elas satisfazem a equação de onda dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser uma solução da equação de onda. Isso quer dizer que, ao substituir a função
na equação, a igualdade deve se manter verdadeira.
Para isso, vamos precisar calcular duas vezes a derivada de
em relação ao tempo
e duas vezes a derivada em relação ao espaço
.
Passo 3
Vamos começar com a primeira função:
Primeiro, calculamos a primeira derivada em relação ao tempo
:
E a segunda derivada:
Agora, a primeira derivada em relação ao espaço
:
E a segunda derivada:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na equação de onda:
Substituindo os valores obtidos:
Simplificando os sinais negativos:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
e
):
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação
:
Ou seja,
Rearranjando:
Exatamente a relação que a questão nos pediu para satisfazer!
Passo 6
O mesmo processo se aplica para as outras funções:
Ao calcular as derivadas e substituir na equação de onda, chegaremos à mesma relação
.
Resposta
Portanto, todas as funções harmônicas fornecidas são soluções da equação de onda desde que
seja satisfeita.