Mostre que as funções dadas nos itens (a) e (b) desta tarefa, chamadas de funções harmônicas, são soluções da equação de onda
partial^2 u(x, t)partial t^2=v^2 partial^2 u(x, t)partial x^2
desde que a relação k / omega=v seja satisfeita. As constantes k e omega são chamadas respectivamente de número de onda e frequência angular.
u(x, t)=A cos (k x-omega t+varphi), u(x, t)=A sen(k x-omega t+varphi), u(x, t)=A cos (k x+omega t+varphi), u(x, t)=A sen(k x+omega t+varphi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que certas funções chamadas de funções harmônicas são soluções da equação de onda:
partial^2 u(x, t)partial t^2 = v^2 partial^2 u(x, t)partial x^2
Aqui, é a velocidade da onda, é o número de onda, e é a frequência angular. A relação que precisamos usar é .
As funções que vamos analisar são:
Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação ao tempo e ao espaço , e verificar se elas satisfazem a equação de onda dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser uma solução da equação de onda. Isso quer dizer que, ao substituir a função na equação, a igualdade deve se manter verdadeira.
Para isso, vamos precisar calcular duas vezes a derivada de em relação ao tempo e duas vezes a derivada em relação ao espaço .

Passo 3

Vamos começar com a primeira função:
u(x, t) = A cos(kx - omega t + varphi)
Primeiro, calculamos a primeira derivada em relação ao tempo partial upartial t = -A omega sin(kx - omega t + varphi) :
partial^2 upartial t^2 = -A omega^2 cos(kx - omega t + varphi)
E a segunda derivada:
partial upartial x = -A k sin(kx - omega t + varphi)
Agora, a primeira derivada em relação ao espaço partial^2 upartial x^2 = -A k^2 cos(kx - omega t + varphi) :
E a segunda derivada:

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na equação de onda:
partial^2 upartial t^2 = v^2 partial^2 upartial x^2
Substituindo os valores obtidos:
-A omega^2 cos(kx - omega t + varphi) = v^2 (-A k^2 cos(kx - omega t + varphi))
Simplificando os sinais negativos:
A omega^2 cos(kx - omega t + varphi) = A v^2 k^2 cos(kx - omega t + varphi)
Podemos dividir ambos os lados por omega^2 = v^2 k^2 (desde que e ):

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação omega = v k :
komega = 1v
Ou seja,
v = omegak
Rearranjando:
Exatamente a relação que a questão nos pediu para satisfazer!

Passo 6

O mesmo processo se aplica para as outras funções:
Ao calcular as derivadas e substituir na equação de onda, chegaremos à mesma relação .

Resposta

Portanto, todas as funções harmônicas fornecidas são soluções da equação de onda desde que seja satisfeita.

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