Mostre que as funções dadas nos itens (a) e (b) desta tarefa, chamadas de funções harmônicas, são soluções da equação de onda
partial^2 u(x, t)partial t^2=v^2 partial^2 u(x, t)partial x^2
desde que a relação k / omega=v seja satisfeita. As constantes k e omega são chamadas respectivamente de número de onda e frequência angular.
u(x, t)=A cos (k x) cos (omega t), u(x, t)=A cos (k x) sen(omega t), u(x, t)=A sen(k x) cos (omega t), u(x, t)=A sen(k x) sen(omega t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que certas funções harmônicas são soluções da equação de onda:
partial^2 u(x, t)partial t^2 = v^2 partial^2 u(x, t)partial x^2
Para isso, precisamos entender o que são as funções harmônicas dadas e como aplicar as derivadas parciais nelas. Vamos precisar calcular as segundas derivadas de em relação a e , e depois verificar se a equação é satisfeita quando . As funções que vamos analisar são:

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: partial upartial t = -A cos(kx) omega sen(omega t) .
Primeiro, calculamos a segunda derivada de partial^2 upartial t^2 = -A cos(kx) omega^2 cos(omega t) em relação ao tempo :

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada de partial upartial x = -A k sen(kx) cos(omega t) em relação ao espaço partial^2 upartial x^2 = -A k^2 cos(kx) cos(omega t) :

Passo 4

Vamos agora substituir as derivadas na equação de onda:
- A cos(kx) omega^2 cos(omega t) = v^2 ( -A k^2 cos(kx) cos(omega t) )
Simplificando ambos os lados:
- omega^2 = -v^2 k^2
omega^2 = v^2 k^2
Tomando a raiz quadrada:
omega = v k
Ou seja,
komega = 1v
Para que a igualdade seja verdadeira, precisamos que .

Passo 5

Repetimos o mesmo processo para as outras funções:
    • Segunda derivada em partial^2 upartial t^2 = -A cos(kx) omega^2 sen(omega t) :
    • Segunda derivada em partial^2 upartial x^2 = -A k^2 cos(kx) sen(omega t) :
    • Substituindo na equação de onda:
      Resulta novamente em -A cos(kx) omega^2 sen(omega t) = v^2 ( -A k^2 cos(kx) sen(omega t) ) .
    • Segunda derivada em partial^2 upartial t^2 = -A sen(kx) omega^2 cos(omega t) :
    • Segunda derivada em partial^2 upartial x^2 = -A k^2 sen(kx) cos(omega t) :
    • Substituindo na equação de onda:
      Novamente, obtemos -A sen(kx) omega^2 cos(omega t) = v^2 ( -A k^2 sen(kx) cos(omega t) ) .
    • Segunda derivada em partial^2 upartial t^2 = -A sen(kx) omega^2 sen(omega t) :
    • Segunda derivada em partial^2 upartial x^2 = -A k^2 sen(kx) sen(omega t) :
    • Substituindo na equação de onda:
      Mais uma vez, chegamos a -A sen(kx) omega^2 sen(omega t) = v^2 ( -A k^2 sen(kx) sen(omega t) ) .

Resposta

Todas as funções harmônicas dadas satisfazem a equação de onda
partial^2 u(x, t)partial t^2 = v^2 partial^2 u(x, t)partial x^2
desde que a relação seja satisfeita.

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