Mostre que as funções dadas nos itens (a) e (b) desta tarefa, chamadas de funções harmônicas, são soluções da equação de onda
desde que a relação seja satisfeita. As constantes e são chamadas respectivamente de número de onda e frequência angular.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que certas funções harmônicas são soluções da equação de onda:
Para isso, precisamos entender o que são as funções harmônicas dadas e como aplicar as derivadas parciais nelas. Vamos precisar calcular as segundas derivadas de em relação a e , e depois verificar se a equação é satisfeita quando . As funções que vamos analisar são:

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: .
Primeiro, calculamos a segunda derivada de em relação ao tempo :

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada de em relação ao espaço :

Passo 4

Vamos agora substituir as derivadas na equação de onda:
Simplificando ambos os lados:
Tomando a raiz quadrada:
Ou seja,
Para que a igualdade seja verdadeira, precisamos que .

Passo 5

Repetimos o mesmo processo para as outras funções:
    • Segunda derivada em :
    • Segunda derivada em :
    • Substituindo na equação de onda:
      Resulta novamente em .
    • Segunda derivada em :
    • Segunda derivada em :
    • Substituindo na equação de onda:
      Novamente, obtemos .
    • Segunda derivada em :
    • Segunda derivada em :
    • Substituindo na equação de onda:
      Mais uma vez, chegamos a .

Resposta

Todas as funções harmônicas dadas satisfazem a equação de onda
desde que a relação seja satisfeita.

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