Mostre que as funções dadas nos itens (a) e (b) desta tarefa, chamadas de funções harmônicas, são soluções da equação de onda
desde que a relação
seja satisfeita. As constantes
e
são chamadas respectivamente de número de onda e frequência angular.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que certas funções harmônicas são soluções da equação de onda:
Para isso, precisamos entender o que são as funções harmônicas dadas e como aplicar as derivadas parciais nelas. Vamos precisar calcular as segundas derivadas de
em relação a
e
, e depois verificar se a equação é satisfeita quando
. As funções que vamos analisar são:
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de
em relação ao tempo
:
Passo 3
Agora, calculamos a segunda derivada de
em relação ao espaço
:
Passo 4
Vamos agora substituir as derivadas na equação de onda:
Simplificando ambos os lados:
Tomando a raiz quadrada:
Ou seja,
Para que a igualdade seja verdadeira, precisamos que
.
Passo 5
Repetimos o mesmo processo para as outras funções:
-
-
Segunda derivada em
: -
Segunda derivada em
: -
Substituindo na equação de onda:Resulta novamente em
.
-
-
-
Segunda derivada em
: -
Segunda derivada em
: -
Substituindo na equação de onda:Novamente, obtemos
.
-
-
-
Segunda derivada em
: -
Segunda derivada em
: -
Substituindo na equação de onda:Mais uma vez, chegamos a
.
-
Resposta
Todas as funções harmônicas dadas satisfazem a equação de onda
desde que a relação
seja satisfeita.