Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
b) {cos(x), cos(3x), cos(5x), ...}, [0, pi/2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto de funções é ortogonal no intervalo [0, pi/2]. Além disso, precisamos encontrar a norma de cada função desse conjunto. Para isso, vamos usar o conceito de ortogonalidade de funções e norma no contexto de espaços de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de funções é ortogonal em um intervalo. Duas funções f(x) e g(x) são ditas ortogonais no intervalo [a, b] se o produto interno delas for zero, ou seja:
A norma de uma função f(x) é dada pela raiz quadrada do produto interno dela com ela mesma:

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso conjunto de funções. Temos as funções onde n é ímpar: . Precisamos verificar se, para m != n, a integral do produto de e no intervalo [0, pi/2] é zero.
Sabemos que, para funções cosseno com múltiplos de frequências diferentes, a integral do produto deles em um intervalo que corresponde a um número inteiro de períodos ou frações específicas pode ser zero. Isso ocorre devido às propriedades de simetria e periodicidade das funções trigonométricas.

Passo 4

Vamos calcular a integral do produto de e :
Para m != n e ambos ímpares, essa integral resulta em zero, ou seja:
Isso mostra que as funções são ortogonais entre si no intervalo dado.

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de cada função . Para isso, calculamos a integral do quadrado da função:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Portanto, a norma é:

Resposta

O conjunto de funções é ortogonal no intervalo [0, pi/2], e a norma de cada função é .

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Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
f) f1(x) = e^x, f2(x) = sen x, [pi/4, 5pi/4]
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
d) f1(x) = x^3, f2(x) = x^2 + 1, [-1, 1]
Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
b) L0(x)=1, L1(x)=-x+1, L2(x)=1/2 x^2 - 2 x + 1 ; w(x)=e^(-x), [0, infinito)
Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
a) H0(x)=1, H1(x)=2 x, H2(x)=4 x^2-2 ; w(x)=e^(x^2), (-infinito, infinito)