Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto de funções
é ortogonal no intervalo
. Além disso, precisamos encontrar a norma de cada função desse conjunto. Para isso, vamos usar o conceito de ortogonalidade de funções e norma no contexto de espaços de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de funções é ortogonal em um intervalo. Duas funções
e
são ditas ortogonais no intervalo
se o produto interno delas for zero, ou seja:
A norma de uma função
é dada pela raiz quadrada do produto interno dela com ela mesma:
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso conjunto de funções. Temos as funções
onde
é ímpar:
. Precisamos verificar se, para
, a integral do produto de
e
no intervalo
é zero.
Sabemos que, para funções cosseno com múltiplos de frequências diferentes, a integral do produto deles em um intervalo que corresponde a um número inteiro de períodos ou frações específicas pode ser zero. Isso ocorre devido às propriedades de simetria e periodicidade das funções trigonométricas.
Passo 4
Vamos calcular a integral do produto de
e
:
Para
e ambos ímpares, essa integral resulta em zero, ou seja:
Isso mostra que as funções são ortogonais entre si no intervalo dado.
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma de cada função
. Para isso, calculamos a integral do quadrado da função:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Portanto, a norma é:
Resposta
O conjunto de funções
é ortogonal no intervalo
, e a norma de cada função é
.