Mostre que as funções a seguir satisfazem as condições do Teorema do Valor Médio e encontre os valores c garantidos pelo mesmo.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função
definida no intervalo
satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio (TVM) e encontrar os valores de
garantidos por ele.
Para isso, precisamos lembrar quais são as condições do Teorema do Valor Médio:
- A função deve ser contínua no intervalo fechado
. - A função deve ser diferenciável no intervalo aberto
.
Vamos verificar essas condições e depois aplicar o teorema para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função
no intervalo
.
A função
é composta por duas partes:
-
, que é polinomial e, portanto, contínua em todo lugar. -
, que é contínua para todo .
Como nosso intervalo é
e
nunca é zero nesse intervalo, a função
é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é diferenciável no intervalo aberto
.
A diferenciabilidade segue da continuidade das funções componentes e da derivada existente. A derivada de
é:
Essa derivada existe para todo
, e como estamos no intervalo
,
nunca é zero. Logo,
é diferenciável em
.
Passo 4
Como a função
é contínua em
e diferenciável em
, ela satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio.
De acordo com o TVM, existe pelo menos um número
em
tal que:
Passo 5
Vamos calcular
e
:
Agora, calculemos a razão de variação:
Passo 6
Sabemos que:
Vamos resolver para
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Invertemos os dois lados:
Tirando a raiz quadrada:
Como estamos no intervalo
,
é válido.
Resposta
O valor de
garantido pelo Teorema do Valor Médio é
(aproximadamente 1,732).
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.
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