Mostre que as funções a seguir satisfazem as condições do Teorema do Valor Médio e encontre os valores c garantidos pelo mesmo.
f(x) = x - 1/x ; [1, 3].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função definida no intervalo satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio (TVM) e encontrar os valores de garantidos por ele.
Para isso, precisamos lembrar quais são as condições do Teorema do Valor Médio:
  1. A função deve ser contínua no intervalo fechado .
  2. A função deve ser diferenciável no intervalo aberto .
Vamos verificar essas condições e depois aplicar o teorema para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função no intervalo .
A função é composta por duas partes:
  • , que é polinomial e, portanto, contínua em todo lugar.
  • , que é contínua para todo .
Como nosso intervalo é e nunca é zero nesse intervalo, a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é diferenciável no intervalo aberto .
A diferenciabilidade segue da continuidade das funções componentes e da derivada existente. A derivada de é:
Essa derivada existe para todo , e como estamos no intervalo , nunca é zero. Logo, é diferenciável em .

Passo 4

Como a função é contínua em e diferenciável em , ela satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio.
De acordo com o TVM, existe pelo menos um número em tal que:

Passo 5

Vamos calcular e :
Agora, calculemos a razão de variação:

Passo 6

Sabemos que:
Vamos resolver para :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Invertemos os dois lados:
Tirando a raiz quadrada:
Como estamos no intervalo , é válido.

Resposta

O valor de garantido pelo Teorema do Valor Médio é (aproximadamente 1,732).

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