Suponha que você vai construir uma caixa retangular com base quadrada, com dois materiais distintos. O material da tampa e dos quatro lados custa
o centímetro quadrado; o material da base custa R
. Determine as dimensões da caixa com volume máximo possível, se é permitido gastar
para o material.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de otimização onde precisamos encontrar as dimensões de uma caixa retangular com base quadrada que maximize o volume, respeitando um custo total máximo de R$ 144. Aqui, temos dois materiais com preços diferentes: a base custa R$ 2,00 por centímetro quadrado, e a tampa mais os quatro lados custam R$ 1,00 por centímetro quadrado. Para resolver, vamos usar conceitos de álgebra e cálculo, especificamente otimização de funções sujeitas a restrições de custo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
o comprimento de cada lado da base quadrada (em centímetros). - Seja
a altura da caixa (em centímetros).
Passo 3
Agora, vamos expressar o volume da caixa. Como a base é quadrada, o volume
é dado por:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a área total dos materiais usados:
- Área da base:
(que custa R$ 2,00 por cm²). - Área da tampa:
(R$ 1,00 por cm²). - Área das quatro laterais:
(R$ 1,00 por cm²).
Então, o custo total
é:
Passo 5
Sabemos que o custo total não pode exceder R$ 144, então temos a restrição:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para
:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão do volume para obter
em termos de
:
Passo 8
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 9
Com
cm, encontramos
usando a expressão anterior:
Passo 10
Portanto, as dimensões que maximizam o volume da caixa são:
- Base: 4 cm x 4 cm
- Altura: 6 cm
Resposta
As dimensões da caixa com volume máximo são base de 4 cm por 4 cm e altura de 6 cm.
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