Suponha que você vai construir uma caixa retangular com base quadrada, com dois materiais distintos. O material da tampa e dos quatro lados custa R o centímetro quadrado; o material da base custa R o centímetro quadrado; o material da base custa R. Determine as dimensões da caixa com volume máximo possível, se é permitido gastar 2,00 para o material.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de otimização onde precisamos encontrar as dimensões de uma caixa retangular com base quadrada que maximize o volume, respeitando um custo total máximo de R$ 144. Aqui, temos dois materiais com preços diferentes: a base custa R$ 2,00 por centímetro quadrado, e a tampa mais os quatro lados custam R$ 1,00 por centímetro quadrado. Para resolver, vamos usar conceitos de álgebra e cálculo, especificamente otimização de funções sujeitas a restrições de custo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja o comprimento de cada lado da base quadrada (em centímetros).
  • Seja a altura da caixa (em centímetros).

Passo 3

Agora, vamos expressar o volume da caixa. Como a base é quadrada, o volume é dado por:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a área total dos materiais usados:
  • Área da base: (que custa R$ 2,00 por cm²).
  • Área da tampa: (R$ 1,00 por cm²).
  • Área das quatro laterais: (R$ 1,00 por cm²).
Então, o custo total é:

Passo 5

Sabemos que o custo total não pode exceder R$ 144, então temos a restrição:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para :

Passo 7

Agora, substituímos na expressão do volume para obter em termos de :

Passo 8

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 9

Com cm, encontramos usando a expressão anterior:

Passo 10

Portanto, as dimensões que maximizam o volume da caixa são:
  • Base: 4 cm x 4 cm
  • Altura: 6 cm

Resposta

As dimensões da caixa com volume máximo são base de 4 cm por 4 cm e altura de 6 cm.

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