Considere agora a barra do problema 9 como sendo não mais homogênea: a sua densidade linear de massa varia com a posição x segundo a expressão λ(x)=2x^2+1. Localize o centro de massa da barra. Explique o seu raciocínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra que não é homogênea, ou seja, a densidade linear de massa dela varia conforme a posição x. A densidade é dada por lambda(x) = 2x^2 + 1. Nosso objetivo é encontrar o centro de massa dessa barra.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de cálculo para integrais de funções de densidade linear. O centro de massa ( barx) pode ser encontrado usando a fórmula:
barx = integral x lambda(x) , dxintegral lambda(x) , dx

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a massa total da barra, que é a integral da densidade linear lambda(x) ao longo do comprimento da barra.
M = integrala^b lambda(x) , dx
Aqui, a é o ponto inicial da barra e b é o ponto final. O problema não especificou os limites de x, então vamos supor que a barra vai de x = 0 até x = 1 para facilitar a conta.

Passo 3

Vamos calcular a massa total M:
M = integral0^1 (2x^2 + 1) , dx
Integrando cada termo separadamente:
M = 2 integral0^1 x^2 , dx + integral0^1 1 , dx = 2 [ x^33 ]0^1 + [ x ]0^1
Calculando os valores:
M = 2 ( 1^33 - 0^33 ) + (1 - 0) = 2 ( 13 ) + 1 = 23 + 1 = 53

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral do momento em relação à massa:
integral0^1 x lambda(x) , dx = integral0^1 x (2x^2 + 1) , dx = integral0^1 (2x^3 + x) , dx
Integrando cada termo:
integral0^1 2x^3 , dx + integral0^1 x , dx = 2 [ x^44 ]0^1 + [ x^22 ]0^1
Calculando os valores:
2 ( 1^44 - 0^44 ) + ( 1^22 - 0^22 ) = 2 ( 14 ) + ( 12 ) = 12 + 12 = 1

Passo 5

Agora, usamos a fórmula do centro de massa:
barx = integral x lambda(x) , dxM = 153 = 35

Resposta

O centro de massa da barra está localizado em x = 35 unidades de comprimento a partir da origem.

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