Considere agora a barra do problema 9 como sendo não mais homogênea: a sua densidade linear de massa varia com a posição
segundo a expressão
. Localize o centro de massa da barra. Explique o seu raciocínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra que não é homogênea, ou seja, a densidade linear de massa dela varia conforme a posição
. A densidade é dada por
. Nosso objetivo é encontrar o centro de massa dessa barra.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de cálculo para integrais de funções de densidade linear. O centro de massa (
) pode ser encontrado usando a fórmula:
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a massa total da barra, que é a integral da densidade linear
ao longo do comprimento da barra.
Aqui,
é o ponto inicial da barra e
é o ponto final. O problema não especificou os limites de
, então vamos supor que a barra vai de
até
para facilitar a conta.
Passo 3
Vamos calcular a massa total
:
Integrando cada termo separadamente:
Calculando os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral do momento em relação à massa:
Integrando cada termo:
Calculando os valores:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula do centro de massa:
Resposta
O centro de massa da barra está localizado em
unidades de comprimento a partir da origem.