Mostre que
,
é um produto interno sobre
se
sendo
o espaço vetorial de funções de
a
com as operações usuais de adição e multiplicação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o produto
é um produto interno no espaço vetorial
. Basicamente, precisamos verificar se essa fórmula satisfaz todas as propriedades que definem um produto interno. Para isso, precisamos saber quais são essas propriedades e como aplicá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em álgebra linear, um produto interno em um espaço vetorial é uma função que associa a cada par de vetores (no nosso caso, funções) um número real, seguindo algumas regras específicas. As principais propriedades que um produto interno deve satisfazer são:
- Simetria:
- Linearidade no primeiro argumento:
- Positividade:
- Definido positivo:
se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa definição de produto interno.
Passo 3
1. Simetria
Queremos ver se
.
Vamos calcular:
Como a multiplicação de números reais é comutativa (
), temos que
. Assim, a simetria está satisfeita.
Passo 4
2. Linearidade no primeiro argumento
Precisamos mostrar que para quaisquer funções
e escalares
, vale:
Vamos calcular o lado esquerdo:
Isso pode ser reagrupado como:
Ou seja:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento está verificada.
Passo 5
3. Positividade
Queremos mostrar que
para toda função
.
Calculando:
Cada termo
é um número real não negativo, porque o quadrado de qualquer número real é sempre
. A soma de números não negativos também é não negativa. Logo,
.
Passo 6
4. Definido positivo
Precisamos verificar que
se e somente se
(isto é,
para todo
).
Se
, então todos os
, e portanto:
Agora, suponha que
:
Como cada
, a única maneira da soma ser zero é que cada
. Portanto,
para todo
, o que implica que
.
Resposta
Assim, verificamos que todas as propriedades de um produto interno são satisfeitas pela definição
. Portanto,
é um produto interno sobre
.