Mostre que lang<=, rang<= é um produto interno sobre Dn se lang<= f, grang<==f(1) g(1)+f(2) g(2)+ldots+f(n) g(n) sendo Dn o espaço vetorial de funções de 1,2,3, ldots, n a R com as operações usuais de adição e multiplicação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o produto lang<= f, g rang<= = f(1)g(1) + f(2)g(2) + ldots + f(n)g(n) é um produto interno no espaço vetorial Dn. Basicamente, precisamos verificar se essa fórmula satisfaz todas as propriedades que definem um produto interno. Para isso, precisamos saber quais são essas propriedades e como aplicá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em álgebra linear, um produto interno em um espaço vetorial é uma função que associa a cada par de vetores (no nosso caso, funções) um número real, seguindo algumas regras específicas. As principais propriedades que um produto interno deve satisfazer são:
  1. Simetria: lang<= f, g rang<= = lang<= g, f rang<=
  2. Linearidade no primeiro argumento: lang<= af + bg, h rang<= = alang<= f, h rang<= + blang<= g, h rang<=
  3. Positividade: lang<= f, f rang<= >= 0
  4. Definido positivo: lang<= f, f rang<= = 0 se e somente se f = 0
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa definição de produto interno.

Passo 3

1. Simetria
Queremos ver se lang<= f, g rang<= = lang<= g, f rang<=.
Vamos calcular:
lang<= f, g rang<= = f(1)g(1) + f(2)g(2) + ldots + f(n)g(n)
lang<= g, f rang<= = g(1)f(1) + g(2)f(2) + ldots + g(n)f(n)
Como a multiplicação de números reais é comutativa ( f(k)g(k) = g(k)f(k)), temos que lang<= f, g rang<= = lang<= g, f rang<=. Assim, a simetria está satisfeita.

Passo 4

2. Linearidade no primeiro argumento
Precisamos mostrar que para quaisquer funções f, g, h in Dn e escalares a, b in R, vale:
lang<= af + bg, h rang<= = alang<= f, h rang<= + blang<= g, h rang<=
Vamos calcular o lado esquerdo:
lang<= af + bg, h rang<= = (af + bg)(1)h(1) + ldots + (af + bg)(n)h(n)
= a f(1) h(1) + b g(1) h(1) + ldots + a f(n) h(n) + b g(n) h(n)
Isso pode ser reagrupado como:
= a(f(1)h(1) + ldots + f(n)h(n)) + b(g(1)h(1) + ldots + g(n)h(n))
Ou seja:
= alang<= f, h rang<= + blang<= g, h rang<=
Portanto, a linearidade no primeiro argumento está verificada.

Passo 5

3. Positividade
Queremos mostrar que lang<= f, f rang<= >= 0 para toda função f in Dn.
Calculando:
lang<= f, f rang<= = f(1)^2 + f(2)^2 + ldots + f(n)^2
Cada termo f(k)^2 é um número real não negativo, porque o quadrado de qualquer número real é sempre >= 0. A soma de números não negativos também é não negativa. Logo, lang<= f, f rang<= >= 0.

Passo 6

4. Definido positivo
Precisamos verificar que lang<= f, f rang<= = 0 se e somente se f = 0 (isto é, f(k) = 0 para todo k).
Se f = 0, então todos os f(k) = 0, e portanto:
lang<= f, f rang<= = 0 + 0 + ldots + 0 = 0
Agora, suponha que lang<= f, f rang<= = 0:
f(1)^2 + f(2)^2 + ldots + f(n)^2 = 0
Como cada f(k)^2 >= 0, a única maneira da soma ser zero é que cada f(k)^2 = 0. Portanto, f(k) = 0 para todo k, o que implica que f = 0.

Resposta

Assim, verificamos que todas as propriedades de um produto interno são satisfeitas pela definição lang<= f, g rang<= = f(1)g(1) + f(2)g(2) + ldots + f(n)g(n). Portanto, lang<= cdot , cdot rang<= é um produto interno sobre Dn.

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