Mostre que , é um produto interno sobre se sendo o espaço vetorial de funções de a com as operações usuais de adição e multiplicação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o produto é um produto interno no espaço vetorial . Basicamente, precisamos verificar se essa fórmula satisfaz todas as propriedades que definem um produto interno. Para isso, precisamos saber quais são essas propriedades e como aplicá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Em álgebra linear, um produto interno em um espaço vetorial é uma função que associa a cada par de vetores (no nosso caso, funções) um número real, seguindo algumas regras específicas. As principais propriedades que um produto interno deve satisfazer são:
Simetria:
Linearidade no primeiro argumento:
Positividade:
Definido positivo: se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a nossa definição de produto interno.
Passo 3
1. Simetria
Queremos ver se .
Vamos calcular:
Como a multiplicação de números reais é comutativa (), temos que . Assim, a simetria está satisfeita.
Passo 4
2. Linearidade no primeiro argumento
Precisamos mostrar que para quaisquer funções e escalares , vale:
Vamos calcular o lado esquerdo:
Isso pode ser reagrupado como:
Ou seja:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento está verificada.
Passo 5
3. Positividade
Queremos mostrar que para toda função .
Calculando:
Cada termo é um número real não negativo, porque o quadrado de qualquer número real é sempre . A soma de números não negativos também é não negativa. Logo, .
Passo 6
4. Definido positivo
Precisamos verificar que se e somente se (isto é, para todo ).
Se , então todos os , e portanto:
Agora, suponha que :
Como cada , a única maneira da soma ser zero é que cada . Portanto, para todo , o que implica que .
Resposta
Assim, verificamos que todas as propriedades de um produto interno são satisfeitas pela definição . Portanto, é um produto interno sobre .