Mostrar que para todo
em
temos
, onde
são bases canônicas de
e
,$\rangle o produto interno euclidiano sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que qualquer vetor
em
pode ser escrito como uma combinação dos vetores da base canônica
e
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre representações de vetores em bases e produto interno euclidiano. Para resolver, vamos usar a definição de produto interno e as propriedades da base canônica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são os vetores da base canônica em
. Eles são:
Esses vetores são fundamentais porque qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear deles.
Passo 3
Agora, consideremos um vetor
em
. Queremos expressar
como:
Aqui,
representa o produto interno euclidiano, que no caso de
é dado por:
Passo 4
Calculando os produtos internos separadamente:
Então, substituindo na expressão original:
Passo 5
Vamos verificar se essa igualdade realmente representa o vetor
. Calculando do lado direito:
Isso mostra que a expressão está correta.
Resposta
Para todo vetor
, temos:
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Para
e
em
, a função
é produto interno?
Considere a cônica de equação
.
(b) Classifique a cònica e faça um esboço.
(b) Classifique a cònica e faça um esboço.
Calcule
sendo
.
Mostre que
,
é um produto interno sobre
se
sendo
o espaço vetorial de funções de
a
com as operações usuais de adição e multiplicação.