Mostrar que para todo u em R^2 temos u=lang<=u, e1rang<= e1+lang<=u, e2rang<= e2, onde e1, e2 são bases canônicas de R^2 e lang<=,$\rangle o produto interno euclidiano sobre rang<= o produto interno euclidiano sobre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que qualquer vetor u em R^2 pode ser escrito como uma combinação dos vetores da base canônica e1 e e2. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre representações de vetores em bases e produto interno euclidiano. Para resolver, vamos usar a definição de produto interno e as propriedades da base canônica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são os vetores da base canônica em R^2. Eles são:
e1 = 1 0 e e2 = 0 1
Esses vetores são fundamentais porque qualquer vetor em R^2 pode ser escrito como uma combinação linear deles.

Passo 3

Agora, consideremos um vetor u = u1 u2 em R^2. Queremos expressar u como:
u = lang<= u, e1 rang<= e1 + lang<= u, e2 rang<= e2
Aqui, lang<= u, v rang<= representa o produto interno euclidiano, que no caso de R^2 é dado por:
lang<= u, v rang<= = u1v1 + u2v2

Passo 4

Calculando os produtos internos separadamente:
lang<= u, e1 rang<= = u1(1) + u2(0) = u1
lang<= u, e2 rang<= = u1(0) + u2(1) = u2
Então, substituindo na expressão original:
u = u1e1 + u2e2

Passo 5

Vamos verificar se essa igualdade realmente representa o vetor u. Calculando do lado direito:
u1e1 + u2e2 = u1 1 0 + u2 0 1 = u1 0 + 0 u2 = u1 + 0 0 + u2 = u1 u2 = u
Isso mostra que a expressão está correta.

Resposta

Para todo vetor u in R^2, temos:
u = lang<= u, e1 rang<= e1 + lang<= u, e2 rang<= e2

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