Seja uma matriz simétrica tal que . Mostre que é uma inversa generalizada de .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz simétrica de dimensão que satisfaz a relação , onde é um escalar. O objetivo é mostrar que a matriz é uma inversa generalizada de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de matrizes simétricas, inversas generalizadas e propriedades de matrizes.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma matriz é simétrica se . Além disso, a relação nos dá uma equação importante que vamos usar para encontrar a inversa generalizada.
Passo 3
A inversa generalizada de uma matriz satisfaz a condição . No nosso caso, queremos que seja uma inversa generalizada de . Vamos definir e verificar se .
Passo 4
Calculamos :
Mas sabemos que , então:
Substituindo na expressão de :
Resposta
Portanto, mostramos que , o que confirma que é uma inversa generalizada de .