Seja A uma matriz simétrica n x n tal que A^2=m A. Mostre que B=1m A é uma inversa generalizada de 1m A.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz simétrica de dimensão que satisfaz a relação , onde é um escalar. O objetivo é mostrar que a matriz é uma inversa generalizada de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de matrizes simétricas, inversas generalizadas e propriedades de matrizes.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma matriz é simétrica se . Além disso, a relação nos dá uma equação importante que vamos usar para encontrar a inversa generalizada.

Passo 3

A inversa generalizada de uma matriz satisfaz a condição . No nosso caso, queremos que seja uma inversa generalizada de . Vamos definir e verificar se .

Passo 4

Calculamos CBC = ( 1mA ) ( 1mA ) ( 1mA ) = 1m^3A^3 :
A^3 = A cdot A^2 = A cdot mA = mA^2 = m cdot mA = m^2A
Mas sabemos que CBC = 1m^3 cdot m^2A = m^2m^3A = 1mA = C , então:
Substituindo na expressão de :

Resposta

Portanto, mostramos que , o que confirma que é uma inversa generalizada de .

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