Seja
uma matriz simétrica
tal que
. Mostre que
é uma inversa generalizada de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz simétrica
de dimensão
que satisfaz a relação
, onde
é um escalar. O objetivo é mostrar que a matriz
é uma inversa generalizada de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de matrizes simétricas, inversas generalizadas e propriedades de matrizes.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma matriz
é simétrica se
. Além disso, a relação
nos dá uma equação importante que vamos usar para encontrar a inversa generalizada.
Passo 3
A inversa generalizada
de uma matriz
satisfaz a condição
. No nosso caso, queremos que
seja uma inversa generalizada de
. Vamos definir
e verificar se
.
Passo 4
Calculamos
:
Mas sabemos que
, então:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
Portanto, mostramos que
, o que confirma que
é uma inversa generalizada de
.