Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é a função delta de Dirac, i.e,
integralR^2 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) f(y) d^2 y=f(x)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que a integral do Laplaciano de uma função regularizada multiplicada por uma função sobre todo o espaço resulta na função .
Esse problema envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente operadores diferenciais como o Laplaciano, e a função delta de Dirac, que é uma ferramenta chave em análise de sinais e física para “selecionar” valores em pontos específicos.
Para resolver, vamos precisar entender o que é o Laplaciano, como funciona a função delta de Dirac e como a função regularizada se comporta nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. Em duas dimensões, o Laplaciano de uma função nabla^2 G(x, y) = partial^2 Gpartial x^2 + partial^2 Gpartial y^2 é dado por:
Ele mede a diferença entre o valor da função em um ponto e a média dos valores ao redor desse ponto.

Passo 3

Agora, sobre a função delta de Dirac, integralR^2 de. Ela não é uma função no sentido tradicional, mas uma “distribuição” que tem a propriedade:
Isso quer dizer que a função delta “pega” o valor da função no ponto .

Passo 4

A função é uma versão “suavizada” ou regularizada da função delta. Conforme tende a zero, se aproxima da delta de Dirac.

Passo 5

Vamos usar uma propriedade fundamental das funções de Green. Para a função nabla^2 Gvarepsilon(x, y) = de, temos que:
Isso significa que o Laplaciano de é igual à função delta de Dirac.

Passo 6

Agora, vamos substituir essa relação na integral que queremos demonstrar:
integralR^2 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) f(y) , d^2 y = integralR^2 de

Passo 7

Utilizando a propriedade da função delta que mencionamos antes, a integral se simplifica para:
integralR^2 de

Resposta

Portanto, mostramos que:
integralR^2 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) f(y) , d^2 y = f(x)

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Podemos regularizar a função ln sigma(x, y) usando o parâmetro varepsilon>0, i.e,
Gvarepsilon(x, y)=12 pi ln raiz(x1-y1)^2+(x2-y2)^2+varepsilon^2
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é um, i.e,
integralR^2 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) d^2 x=1
Mostre que o Laplaciano em duas dimensões, i.e.,
nabla^2=partial^2partial x1^2+partial^2partial x2^2
atuando sobre ln sigma(x, y) é zero para todo x neq y, i.e.,
nabla^2 ln sigma(x, y)=0
Mostre que o Laplaciano em três dimensões, i.e.,
nabla^2=partial^2partial x1^2+partial^2partial x2^2+partial^2partial x3^2
atuando sobre 1 / sigma(x, y) é zero para todo x neq y, i.e.,
nabla^2 1sigma(x, y)=0
Regularize a função 1 / sigma(x, y) usando o parâmetro varepsilon>0, i.e,
Gvarepsilon(x, y)=-14 pi 1raiz(x1-y1)^2+(x2-y2)^2+(x3-y3)^2+varepsilon^2
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é um, i.e,
integralR^3 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) d^3 x=1