Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é a função delta de Dirac, i.e,
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que a integral do Laplaciano de uma função regularizada
multiplicada por uma função
sobre todo o espaço
resulta na função
.
Esse problema envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente operadores diferenciais como o Laplaciano, e a função delta de Dirac, que é uma ferramenta chave em análise de sinais e física para “selecionar” valores em pontos específicos.
Para resolver, vamos precisar entender o que é o Laplaciano, como funciona a função delta de Dirac e como a função regularizada
se comporta nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. Em duas dimensões, o Laplaciano de uma função
é dado por:
Ele mede a diferença entre o valor da função em um ponto e a média dos valores ao redor desse ponto.
Passo 3
Agora, sobre a função delta de Dirac,
. Ela não é uma função no sentido tradicional, mas uma “distribuição” que tem a propriedade:
Isso quer dizer que a função delta “pega” o valor da função
no ponto
.
Passo 4
A função
é uma versão “suavizada” ou regularizada da função delta. Conforme
tende a zero,
se aproxima da delta de Dirac.
Passo 5
Vamos usar uma propriedade fundamental das funções de Green. Para a função
, temos que:
Isso significa que o Laplaciano de
é igual à função delta de Dirac.
Passo 6
Agora, vamos substituir essa relação na integral que queremos demonstrar:
Passo 7
Utilizando a propriedade da função delta que mencionamos antes, a integral se simplifica para:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Podemos regularizar a função
usando o parâmetro
, i.e,
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é um, i.e,
Mostre que o Laplaciano em duas dimensões, i.e.,
atuando sobre
é zero para todo
, i.e.,
Mostre que o Laplaciano em três dimensões, i.e.,
atuando sobre
é zero para todo
, i.e.,
Regularize a função
usando o parâmetro
, i.e,
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é um, i.e,