Mostre que a lei de Planck conduz à lei clássica de Rayleigh-Jeans no limite de grandes comprimentos de onda (baixa frequência), ou seja, mostre que o para lambda k T gg h c, a distribuição de Planck leva à
u(lambda)=8 pi k Tlambda^4
Dessa forma, podemos afirmar que a radiação de corpo negro, no limite de grandes comprimentos de onda (baixas frequências), é bem descrita pela física clássica. No entanto, para comprimentos de onda pequenos (altas frequências), a lei clássica falha, levando à chamada

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que a Lei de Planck se aproxima da Lei de Rayleigh-Jeans quando consideramos grandes comprimentos de onda (ou baixas frequências). Para isso, vamos trabalhar com as fórmulas dessas leis e aplicar algumas simplificações matemáticas. Precisaremos conhecer as expressões para a distribuição de energia de Planck e entender como elas se comportam em diferentes limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Planck, que descreve a distribuição de energia de um corpo negro em função do comprimento de onda λ:
u(lambda) = 8 pi h clambda^5 cdot 1e^h clambda k T - 1
Aqui, é a constante de Planck, é a velocidade da luz, é a constante de Boltzmann e é a temperatura.

Passo 3

O objetivo é simplificar essa expressão no limite de grandes comprimentos de onda, ou seja, quando é grande. Isso corresponde a baixas frequências. Nesse caso, o termo se torna muito pequeno, já que está no denominador.

Passo 4

Quando temos uma expressão exponencial com um valor muito pequeno no expoente, e^x approx 1 + x , onde é pequeno, podemos usar a aproximação:
Essa é a primeira ordem da expansão de Taylor da exponencial.

Passo 5

Aplicando essa aproximação na Lei de Planck, temos:
e^h clambda k T approx 1 + h clambda k T
Substituindo de volta na fórmula da Lei de Planck:
u(lambda) approx 8 pi h clambda^5 cdot 1(1 + h clambda k T) - 1 = 8 pi h clambda^5 cdot 1h clambda k T

Passo 6

Simplificando a expressão acima, cancelamos os termos u(lambda) approx 8 pi h clambda^5 cdot lambda k Th c = 8 pi k Tlambda^4 :

Resposta

Assim, mostramos que no limite de grandes comprimentos de onda ( u(lambda) = 8 pi k Tlambda^4 ), a Lei de Planck se reduz à Lei de Rayleigh-Jeans:
Isso confirma que, para comprimentos de onda maiores (baixas frequências), a radiação de corpo negro é bem descrita pela física clássica, conforme previsto pela Lei de Rayleigh-Jeans.

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