Mostre que a lei de Planck conduz à lei clássica de Rayleigh-Jeans no limite de grandes comprimentos de onda (baixa frequência), ou seja, mostre que o para
, a distribuição de Planck leva à
Dessa forma, podemos afirmar que a radiação de corpo negro, no limite de grandes comprimentos de onda (baixas frequências), é bem descrita pela física clássica. No entanto, para comprimentos de onda pequenos (altas frequências), a lei clássica falha, levando à chamada
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que a Lei de Planck se aproxima da Lei de Rayleigh-Jeans quando consideramos grandes comprimentos de onda (ou baixas frequências). Para isso, vamos trabalhar com as fórmulas dessas leis e aplicar algumas simplificações matemáticas. Precisaremos conhecer as expressões para a distribuição de energia de Planck e entender como elas se comportam em diferentes limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Planck, que descreve a distribuição de energia de um corpo negro em função do comprimento de onda λ:
Aqui,
é a constante de Planck,
é a velocidade da luz,
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura.
Passo 3
O objetivo é simplificar essa expressão no limite de grandes comprimentos de onda, ou seja, quando
é grande. Isso corresponde a baixas frequências. Nesse caso, o termo
se torna muito pequeno, já que
está no denominador.
Passo 4
Quando temos uma expressão exponencial com um valor muito pequeno no expoente,
, onde
é pequeno, podemos usar a aproximação:
Essa é a primeira ordem da expansão de Taylor da exponencial.
Passo 5
Aplicando essa aproximação na Lei de Planck, temos:
Substituindo de volta na fórmula da Lei de Planck:
Passo 6
Simplificando a expressão acima, cancelamos os termos
:
Resposta
Assim, mostramos que no limite de grandes comprimentos de onda (
), a Lei de Planck se reduz à Lei de Rayleigh-Jeans:
Isso confirma que, para comprimentos de onda maiores (baixas frequências), a radiação de corpo negro é bem descrita pela física clássica, conforme previsto pela Lei de Rayleigh-Jeans.