Um capacitor está carregado inicialmente com uma carga de 5,1 mu C e tem uma capacitância de 2,0 n F. Ele é descarregado em um circuito que tem um resistor de R=1,3 k Omega. Encontre a corrente no resistor após 9,0 mu s após o resistor ser conectado aos terminais do capacitor, b) Qual é a carga que permanece no capacitor após 8,0 mu s ? c) Qual é a corrente máxima no resistor?

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão antes de resolver. A gente tem um capacitor que está carregado com uma carga inicial de e tem uma capacitância de . Esse capacitor está sendo descarregado através de um resistor de resistência .
Vamos precisar entender como um circuito RC (resistor-capacitor) funciona, ou seja, como a carga e a corrente mudam com o tempo quando o capacitor está descarregando. As fórmulas que vamos usar envolvem exponenciais, pois a descarga segue um comportamento exponencial.
Precisaremos calcular:
a) A corrente no resistor após .
b) A carga que permanece no capacitor após .
c) A corrente máxima no resistor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RC simples, quando o capacitor começa a descarregar, a corrente diminui exponencialmente com o tempo. A carga no capacitor ao longo do tempo é dada por:
Q(t) = Q0 , e^-tRC
Onde:
  • I(t) = dQ(t)dt = Q0R , e^-tRC é a carga no tempo ,
  • é a carga inicial,
  • é a resistência,
  • é a capacitância,
  • é a base dos logaritmos naturais.
A corrente no resistor pode ser encontrada derivando a carga em relação ao tempo:
Agora vamos calcular cada parte usando essas fórmulas.

Passo 3

a) Corrente após RC = R times C = (1,3 times 10^3 , Omega) times (2,0 times 10^-9 , F) = 2,6 times 10^-6 , s
Primeiro, vamos calcular o valor de I(t) = Q0R , e^-tRC , que é a constante de tempo do circuito.
I(9,0 times 10^-6 , s) = 5,1 times 10^-6 , C1,3 times 10^3 , Omega , e^-9,0 times 10^-62,6 times 10^-6
Agora, usando a fórmula da corrente:
5,1 times 10^-61,3 times 10^3 approx 3,923 times 10^-9 , A = 3,923 , nA
Substituindo os valores:
-9,0 times 10^-62,6 times 10^-6 approx -3,462
Calculando os componentes:
I approx 3,923 , nA times e^-3,462 approx 3,923 , nA times 0,0313 approx 0,123 , nA
E o expoente:
Então:

Passo 4

b) Carga que permanece após Q(t) = Q0 , e^-tRC
Usamos a fórmula da carga:
Q(8,0 times 10^-6 , s) = 5,1 times 10^-6 , C times e^-8,0 times 10^-62,6 times 10^-6
Substituindo os valores:
-8,0 times 10^-62,6 times 10^-6 approx -3,077
Calculando o expoente:
Q approx 5,1 times 10^-6 , C times e^-3,077 approx 5,1 times 10^-6 , C times 0,046 approx 0,235 times 10^-6 , C = 0,235 , mu C
Então:

Passo 5

c) Corrente máxima no resistor
A corrente máxima ocorre no instante inicial, quando I(0) = Q0R , e^-0RC = Q0R times 1 = Q0R . Usamos novamente a fórmula da corrente:
Imax = 5,1 times 10^-6 , C1,3 times 10^3 , Omega approx 3,923 times 10^-9 , A = 3,923 , nA
Substituindo os valores:

Resposta

a) A corrente no resistor após é aproximadamente .
b) A carga que permanece no capacitor após é aproximadamente .
c) A corrente máxima no resistor é aproximadamente .

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