Mostre que
lim n infty(sin (pi2^2) cdot sin (pi3^2) cdot sin (pi4^2) cdots cdot sin (pin^2))=0

Passo 1

Vamos analisar o limite de um produto envolvendo funções seno. O exercício pede para mostrarmos que:
lim n infty(sin (pi2^2) cdot sin (pi3^2) cdot sin (pi4^2) cdots cdot sin (pin^2))=0
Para resolver isso, vamos precisar entender propriedades dos limites e das funções seno, além de usar algumas desigualdades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade básica das funções seno: para qualquer , temos que . Isso significa que o seno de um número positivo é sempre menor ou igual a esse número.

Passo 3

Aplicando essa desigualdade aos termos do produto dado, temos:
sin(pik^2) <= pik^2
para cada . Isso nos ajuda a estabelecer um limite superior para o nosso produto original.

Passo 4

Agora, substituindo cada termo do produto original pela sua desigualdade, obtemos:
sin(pi2^2) cdot sin(pi3^2) cdot ldots cdot sin(pin^2) <= pi2^2 cdot pi3^2 cdot ldots cdot pin^2
Isso simplifica para:
prodk=2^n sin(pik^2) <= pi^n-1 cdot prodk=2^n 1k^2

Passo 5

Vamos focar no produto 12^2 cdot 3^2 cdot 4^2 cdot ldots cdot n^2 = 1(n!)^2 . Isso é igual a:
Sabemos que (fatorial de ) cresce muito rapidamente à medida que aumenta.

Passo 6

Dado que limn infty pi^n-1 cdot 1(n!)^2 = 0 cresce mais rápido que qualquer exponencial, o termo tende a zero conforme tende ao infinito. Portanto:
Isso implica que o produto original também tende a zero.

Resposta

Portanto, concluímos que:
lim n infty(sin (pi2^2) cdot sin (pi3^2) cdot sin (pi4^2) cdots cdot sin (pin^2))=0

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