Mostre que
Passo 1
Vamos analisar o limite de um produto envolvendo funções seno. O exercício pede para mostrarmos que:
Para resolver isso, vamos precisar entender propriedades dos limites e das funções seno, além de usar algumas desigualdades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade básica das funções seno: para qualquer
, temos que
. Isso significa que o seno de um número positivo é sempre menor ou igual a esse número.
Passo 3
Aplicando essa desigualdade aos termos do produto dado, temos:
para cada
. Isso nos ajuda a estabelecer um limite superior para o nosso produto original.
Passo 4
Agora, substituindo cada termo do produto original pela sua desigualdade, obtemos:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos focar no produto
. Isso é igual a:
Sabemos que
(fatorial de
) cresce muito rapidamente à medida que
aumenta.
Passo 6
Dado que
cresce mais rápido que qualquer exponencial, o termo
tende a zero conforme
tende ao infinito. Portanto:
Isso implica que o produto original também tende a zero.
Resposta
Portanto, concluímos que: